Sendo T: R^3 R^2 uma aplicação linear, definida por T(x, y, z)=(z, x+y). Determine:
b) a matriz de T em relação às bases beta=(1,1,1) ;(1,1,0) ;(1,0,0) de R^3 e beta^prime=(1,3) ;(2,5) base de R^2;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases específicas dadas:
  • Base de :
  • Base de :
Para resolver isso, vamos precisar expressar as imagens dos vetores da base na base , ou seja, descobrir como cada vetor transformado por pode ser representado em termos dos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação a cada vetor da base .
Os vetores da base são:
Aplicando :

Passo 3

Agora, precisamos representar cada um desses vetores transformados T(vi) = a cdot b'1 + b cdot b'2 na base de .
A base é formada por:
Queremos encontrar coeficientes e tais que:
Isso vai nos dar sistemas de equações para resolver para cada vetor .

Passo 4

Vamos começar com (1,2) = a(1,3) + b(2,5) :
1 = a + 2b 2 = 3a + 5b
Isso resulta no sistema de equações:
3(1 - 2b) + 5b = 2 3 - 6b + 5b = 2 - b = -1 b = 1
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Logo, , ou seja, os coeficientes são .

Passo 5

Agora, vamos para (0,2) = a(1,3) + b(2,5) :
0 = a + 2b 2 = 3a + 5b
Sistema de equações:
3(-2b) + 5b = 2 -6b + 5b = 2 - b = 2 b = -2
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto, , ou seja, os coeficientes são .

Passo 6

Por fim, vamos para (0,1) = a(1,3) + b(2,5) :
0 = a + 2b 1 = 3a + 5b
Sistema de equações:
3(-2b) + 5b = 1 -6b + 5b = 1 - b = 1 b = -1
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto, , ou seja, os coeficientes são .

Resposta

A matriz de [T]beta^beta' = -1 & 4 & 2 1 & -2 & -1 em relação às bases e é:

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