Sendo
uma aplicação linear, definida por
. Determine:
b) a matriz de T em relação às bases
de
e
base de
;
b) a matriz de T em relação às bases
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases específicas dadas:
- Base
de : - Base
de :
Para resolver isso, vamos precisar expressar as imagens dos vetores da base
na base
, ou seja, descobrir como cada vetor transformado por
pode ser representado em termos dos vetores da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
a cada vetor da base
.
Os vetores da base
são:
Aplicando
:
Passo 3
Agora, precisamos representar cada um desses vetores transformados
na base
de
.
A base
é formada por:
Queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso vai nos dar sistemas de equações para resolver para cada vetor
.
Passo 4
Vamos começar com
:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Logo,
, ou seja, os coeficientes são
.
Passo 5
Agora, vamos para
:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,
, ou seja, os coeficientes são
.
Passo 6
Por fim, vamos para
:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,
, ou seja, os coeficientes são
.
Resposta
A matriz de
em relação às bases
e
é: