Seja R1:= (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,-2,3). Determine uma equação de um plano que contenha a reta R1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reta R1 definida por (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,-2,3). O que a gente precisa fazer é encontrar uma equação de um plano que contenha essa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como relacionar a direção da reta com o plano que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto na reta R1. Observando a equação paramétrica, quando t=0, o ponto é (0,1,0). Esse será nosso ponto de referência no plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta R1. Na equação (x,y,z)=(0,1,0)+t(1,-2,3), o vetor diretor é (1,-2,3). Esse vetor está contido no plano que queremos encontrar.

Passo 4

Para definir um plano, precisamos de um vetor normal, ou seja, um vetor que seja perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Sabemos que o vetor diretor da reta está no plano, então o vetor normal deve ser perpendicular a esse vetor diretor.

Passo 5

Vamos chamar o vetor normal de (A,B,C). A condição de perpendicularidade é que o produto escalar entre o vetor normal e o vetor diretor seja zero:
A cdot 1 + B cdot (-2) + C cdot 3 = 0
Simplificando:
A - 2B + 3C = 0
Essa é a nossa primeira equação para encontrar A, B e C.

Passo 6

Para determinar um vetor normal específico, precisamos de mais uma condição. Podemos escolher outro vetor que também esteja no plano. Porém, como temos apenas a reta, uma maneira de encontrar outro vetor no plano é assumir um valor para uma das variáveis e resolver as restantes.
Vamos, por exemplo, escolher A = 2. Substituindo na equação:
2 - 2B + 3C = 0 Rightarrow -2B + 3C = -2
Podemos escolher outro valor para simplificar. Se escolhermos B = 1, temos:
-2(1) + 3C = -2 Rightarrow -2 + 3C = -2 Rightarrow 3C = 0 Rightarrow C = 0
Então, um vetor normal possível é (2,1,0).

Passo 7

Agora que temos o vetor normal (2,1,0) e um ponto no plano (0,1,0), podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
2(x - 0) + 1(y - 1) + 0(z - 0) = 0
Simplificando:
2x + y - 1 = 0

Resposta

A equação do plano que contém a reta R1 é:
2x + y - 1 = 0

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