Seja
. Determine uma equação de um plano que contenha a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma reta
definida por
. O que a gente precisa fazer é encontrar uma equação de um plano que contenha essa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como relacionar a direção da reta com o plano que queremos encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto na reta
. Observando a equação paramétrica, quando
, o ponto é
. Esse será nosso ponto de referência no plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta
. Na equação
, o vetor diretor é
. Esse vetor está contido no plano que queremos encontrar.
Passo 4
Para definir um plano, precisamos de um vetor normal, ou seja, um vetor que seja perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Sabemos que o vetor diretor da reta está no plano, então o vetor normal deve ser perpendicular a esse vetor diretor.
Passo 5
Vamos chamar o vetor normal de
. A condição de perpendicularidade é que o produto escalar entre o vetor normal e o vetor diretor seja zero:
Simplificando:
Essa é a nossa primeira equação para encontrar
,
e
.
Passo 6
Para determinar um vetor normal específico, precisamos de mais uma condição. Podemos escolher outro vetor que também esteja no plano. Porém, como temos apenas a reta, uma maneira de encontrar outro vetor no plano é assumir um valor para uma das variáveis e resolver as restantes.
Vamos, por exemplo, escolher
. Substituindo na equação:
Podemos escolher outro valor para simplificar. Se escolhermos
, temos:
Então, um vetor normal possível é
.
Passo 7
Agora que temos o vetor normal
e um ponto no plano
, podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano que contém a reta
é: