Determine a equação geral do plano e um vetor diretor da reta r dado que:
(a) passa pelos pontos e ;
(b) passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, precisamos trabalhar com geometria analítica, especificamente encontrando a equação geral de um plano e um vetor diretor de uma reta. Para isso, vamos usar pontos no espaço e algumas operações com vetores, como o produto vetorial. Vamos dividir a solução em duas partes: (a) encontrar a equação do plano que passa pelos pontos , e , e (b) encontrar um vetor diretor da reta que passa pelos pontos e .
Passo 2
Parte (a): Encontrar a equação geral do plano que passa pelos pontos , e .
Primeiro, para achar a equação de um plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que é perpendicular ao plano. Para isso, vamos seguir os seguintes passos:
Encontrar dois vetores que estão no plano : Podemos usar os pontos dados para formar dois vetores. Por exemplo, podemos construir os vetores e .
Vetor : Subtraímos as coordenadas de das de .
Vetor : Subtraímos as coordenadas de das de .
Calcular o vetor normal ao plano : O vetor normal é perpendicular a ambos os vetores e . Para encontrar , fazemos o produto vetorial desses dois vetores.