Determine a equação geral do plano pi e um vetor diretor da reta r dado que:
(a) pi passa pelos pontos A=(1,0,2), B=(0,-1,1) e C=(-1,0,1);
(b) r passa pelos pontos P=(0,1,0) e Q=(-2,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, precisamos trabalhar com geometria analítica, especificamente encontrando a equação geral de um plano e um vetor diretor de uma reta. Para isso, vamos usar pontos no espaço e algumas operações com vetores, como o produto vetorial. Vamos dividir a solução em duas partes: (a) encontrar a equação do plano pi que passa pelos pontos A, B e C, e (b) encontrar um vetor diretor da reta r que passa pelos pontos P e Q.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a equação geral do plano pi que passa pelos pontos A=(1,0,2), B=(0,-1,1) e C=(-1,0,1).
Primeiro, para achar a equação de um plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que é perpendicular ao plano. Para isso, vamos seguir os seguintes passos:
  1. Encontrar dois vetores que estão no plano pi: Podemos usar os pontos dados para formar dois vetores. Por exemplo, podemos construir os vetores AB e AC.
    • Vetor AB: Subtraímos as coordenadas de A das de B.
      AB = B - A = (0-1, -1-0, 1-2) = (-1, -1, -1)
    • Vetor AC: Subtraímos as coordenadas de A das de C.
      AC = C - A = (-1-1, 0-0, 1-2) = (-2, 0, -1)
  2. Calcular o vetor normal n ao plano pi: O vetor normal é perpendicular a ambos os vetores AB e AC. Para encontrar n, fazemos o produto vetorial desses dois vetores.
    n = AB times AC = i & j & k -1 & -1 & -1 -2 & 0 & -1 = i((-1)(-1) - (-1)(0)) - j((-1)(-1) - (-1)(-2)) + k((-1)(0) - (-1)(-2))
    Simplificando:
    n = i(1 - 0) - j(1 - 2) + k(0 - 2) = i(1) - j(-1) + k(-2) = (1, 1, -2)
  3. Formar a equação geral do plano: A equação geral de um plano é dada por:
    a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
    Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal n e (x0, y0, z0) é um ponto no plano (podemos usar o ponto A).
    Substituindo os valores:
    1(x - 1) + 1(y - 0) - 2(z - 2) = 0
    Simplificando:
    x - 1 + y - 2z + 4 = 0 x + y - 2z + 3 = 0

Passo 3

Parte (b): Encontrar um vetor diretor da reta r que passa pelos pontos P=(0,1,0) e Q=(-2,0,1).
Para encontrar um vetor diretor de uma reta, basta encontrar o vetor que liga dois pontos quaisquer na reta. Vamos fazer isso:
  1. Calcular o vetor PQ: Subtraímos as coordenadas de P das de Q.
    PQ = Q - P = (-2-0, 0-1, 1-0) = (-2, -1, 1)
    Esse vetor PQ = (-2, -1, 1) é o vetor diretor da reta r.

Resposta

(a) A equação geral do plano pi é x + y - 2z + 3 = 0.
(b) Um vetor diretor da reta r é v = (-2, -1, 1).

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