Considere a reta L de equações paramétricas x = 1 - t ; y = 5 + 3t ; z = 2 - t ; -infinito < t < +infinito e os pontos P = (1, 3, 3) e Q = (2, 2, 3).
Obtenha a equação do plano que contém a reta L e os pontos P e Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de um plano que contém uma reta e dois pontos e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, onde vamos trabalhar com equações paramétricas de retas e encontrar a equação geral de um plano. Vamos precisar entender como representar uma reta e como determinar um plano a partir de vetores e pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação paramétrica da reta . Ela está dada por:
Aqui, é o parâmetro. Isso significa que para cada valor de , temos um ponto diferente na reta .

Passo 3

Vamos identificar dois pontos na reta escolhendo valores específicos de . Por exemplo, se :
Então, temos o ponto na reta.
Se :
Então, temos o ponto na reta.

Passo 4

Agora, sabemos que o plano que queremos determinar contém a reta e os pontos e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele.

Passo 5

Vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Um deles pode ser o vetor diretor da reta . A partir das equações paramétricas, o vetor diretor de é:
Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 6

Agora, precisamos de outro vetor no plano. Podemos obter esse vetor calculando a diferença entre o ponto e um ponto na reta . Vamos usar o ponto :
Então, é outro vetor no plano.

Passo 7

Com os dois vetores e no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
Vamos calcular esse produto:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 8

Com o vetor normal e sabendo que o ponto está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde é um ponto no plano e é um ponto genérico no plano. Expandindo o produto escalar:

Passo 9

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano que contém a reta e os pontos e é:

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