Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) O plano tangente;
(b) A reta normal no ponto P0 na superfície dada.
x^2 + 2xy - y^2 + z^2 = 7, P0(1, -1, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois elementos importantes numa superfície: o plano tangente e a reta normal no ponto na superfície definida pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o plano tangente à superfície no ponto . O plano tangente é aquele que “toca” a superfície exatamente no ponto e tem a mesma inclinação da superfície nesse ponto.
Para encontrar o plano tangente, usamos a fórmula:
Onde são as derivadas parciais da função em relação a , respectivamente, e é o ponto dado.
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal é a reta que passa por e é perpendicular ao plano tangente naquele ponto.
A direção da reta normal é dada pelo vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é formado pelas derivadas parciais que calculamos anteriormente: .
As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
Substituindo e as derivadas parciais:

Resposta

(a) A equação do plano tangente é .
(b) As equações paramétricas da reta normal são:

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