Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a)
plano tangente;
(b) A reta normal no ponto
na superfície dada.
(a)
(b) A reta normal no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois elementos importantes numa superfície: o plano tangente e a reta normal no ponto
na superfície definida pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o plano tangente à superfície no ponto
. O plano tangente é aquele que “toca” a superfície exatamente no ponto
e tem a mesma inclinação da superfície nesse ponto.
Para encontrar o plano tangente, usamos a fórmula:
Onde
são as derivadas parciais da função
em relação a
, respectivamente, e
é o ponto dado.
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto
. A reta normal é a reta que passa por
e é perpendicular ao plano tangente naquele ponto.
A direção da reta normal é dada pelo vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é formado pelas derivadas parciais que calculamos anteriormente:
.
As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
Substituindo
e as derivadas parciais:
Resposta
(a) A equação do plano tangente é
.
(b) As equações paramétricas da reta normal são: