Sejam e .
Calcule a distância entre o plano e a origem .
Definimos a distância de um ponto a um plano como sendo a norma do vetor , onde é o único ponto de tal que o vetor é paralelo ao vetor normal ao plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Precisamos encontrar a distância entre a origem e o plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equação de planos.

Passo 2

Para encontrar a equação do plano , precisamos primeiro determinar um vetor normal a esse plano. Podemos obter esse vetor calculando o produto vetorial dos vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial , que nos dará o vetor normal ao plano .

Passo 4

Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
onde é um ponto do plano, que pode ser o ponto .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a distância da origem ao plano , usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
Neste caso, e a equação do plano é , então , , , e .

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:

Resposta

A distância entre o plano e a origem é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
Considere a reta de equações paramétricas e os pontos e .
Obtenha a equação do plano que contém a reta e os pontos e .
Nos exercícios , encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
Considere as retas
Elas são paralelas? Elas se intersectam?