Sejam A = (0, 1, 3), B = (1, 2, 4) e C=(2,1,6).
Calcule a distância (* *) entre o plano pi e a origem (0, 0, 0).
(*) Definimos a distância de um ponto P a um plano pi como sendo a norma do vetor PQ, onde Q é o único ponto de pi tal que o vetor PQ é paralelo ao vetor normal ao plano pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Precisamos encontrar a distância entre a origem e o plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equação de planos.

Passo 2

Para encontrar a equação do plano , precisamos primeiro determinar um vetor normal a esse plano. Podemos obter esse vetor calculando o produto vetorial dos vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial , que nos dará o vetor normal ao plano .

Passo 4

Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
onde é um ponto do plano, que pode ser o ponto .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a distância da origem ao plano , usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
Neste caso, e a equação do plano é , então , , , e .

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:

Resposta

A distância entre o plano e a origem é .

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