Sejam e .
Calcule a distância entre o plano e a origem . Definimos a distância de um ponto a um plano como sendo a norma do vetor , onde é o único ponto de tal que o vetor é paralelo ao vetor normal ao plano .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . Precisamos encontrar a distância entre a origem e o plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equação de planos.
Passo 2
Para encontrar a equação do plano , precisamos primeiro determinar um vetor normal a esse plano. Podemos obter esse vetor calculando o produto vetorial dos vetores e .
Calculando :
Calculando :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial , que nos dará o vetor normal ao plano .
Passo 4
Com o vetor normal , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
onde é um ponto do plano, que pode ser o ponto .
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar a distância da origem ao plano , usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
Neste caso, e a equação do plano é , então , , , e .