Mostre que se
e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema. Temos um conjunto de vetores
onde o último vetor
é uma combinação linear dos vetores anteriores, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, o conjunto
na verdade pode ser representado sem o vetor
, ficando assim
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Um vetor
é uma combinação linear dos vetores
se existem escalares
tais que:
Isso quer dizer que o vetor
não traz nenhuma nova direção para o conjunto, já que ele pode ser criado a partir dos vetores anteriores.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que isso implica para o conjunto
. Se
pode ser escrito como uma combinação dos vetores
a
, então
está na “span” desses vetores. A “span” de um conjunto de vetores é todas as combinações lineares possíveis desses vetores.
Passo 4
Como
está na span de
, isso significa que
não adiciona nada de novo ao conjunto. Em outras palavras, o vetor
não contribui para aumentar a dimensão do espaço gerado pelo conjunto.
Passo 5
Portanto, podemos remover
do conjunto sem perder nenhuma informação sobre o espaço gerado. Assim, o conjunto
pode ser reduzido para:
Isso mostra que o vetor
era redundante no conjunto original.
Resposta
Concluímos que
quando
é uma combinação linear dos vetores anteriores.