Mostre que se V=[v1, v2, ldots, vr] e vr=a1 v1+a2 v2+cdots+ar-1 vr-1 então V=[v1, v2, ldots, vr-1].

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema. Temos um conjunto de vetores onde o último vetor é uma combinação linear dos vetores anteriores, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que, com essa condição, o conjunto na verdade pode ser representado sem o vetor , ficando assim . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Um vetor vr = a1 v1 + a2 v2 + cdots + ar-1 vr-1 é uma combinação linear dos vetores se existem escalares tais que:
Isso quer dizer que o vetor não traz nenhuma nova direção para o conjunto, já que ele pode ser criado a partir dos vetores anteriores.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que isso implica para o conjunto . Se pode ser escrito como uma combinação dos vetores a , então está na “span” desses vetores. A “span” de um conjunto de vetores é todas as combinações lineares possíveis desses vetores.

Passo 4

Como está na span de , isso significa que não adiciona nada de novo ao conjunto. Em outras palavras, o vetor não contribui para aumentar a dimensão do espaço gerado pelo conjunto.

Passo 5

Portanto, podemos remover V = [v1, v2, ldots, vr-1] do conjunto sem perder nenhuma informação sobre o espaço gerado. Assim, o conjunto pode ser reduzido para:
Isso mostra que o vetor era redundante no conjunto original.

Resposta

Concluímos que quando é uma combinação linear dos vetores anteriores.

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