Determine o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um produto de vários logaritmos assim:
Nosso objetivo é encontrar o valor desse produto. Para resolver, vamos usar as propriedades dos logaritmos, especificamente a mudança de base e a propriedade de multiplicação de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos:
Essa propriedade nos ajuda a simplificar produtos de logaritmos onde a base de um logaritmo é o argumento do próximo. É como uma “ponte” que conecta os logaritmos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade no início do nosso produto. Vamos multiplicar os dois primeiros logaritmos:
Então, o produto fica:

Passo 4

Continuando a simplificação, aplicamos a mesma propriedade aos próximos termos:
Repetindo esse processo para todos os termos, veremos que cada par de logaritmos “se cancela” e acabamos ficando com:

Passo 5

Por fim, temos o último termo . Se considerarmos que a base padrão é 9 (seguindo o padrão dos outros logaritmos), sabemos que:
Então, multiplicando pelo 1, o valor final permanece:

Resposta

O valor do produto é .

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