Considere a reta
de equação
e o ponto
de coordenadas
. Encontre a equação da reta tangente à circunferência
que é paralela a reta
(e difere de
).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem uma reta
com equação
e um ponto
. A tarefa é encontrar a equação de uma reta que seja tangente a uma circunferência
, que seja paralela à reta
e que seja diferente de
.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre retas paralelas, distâncias entre pontos e retas, e sobre como encontrar a equação de uma reta tangente a uma circunferência.
Passo 2
Primeiro, como queremos que a nova reta seja paralela à
, ela precisa ter o mesmo coeficiente angular. A equação geral de uma reta paralela a
será então da forma:
onde
é o coeficiente linear que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos considerar que essa nova reta será tangente à circunferência
. Isso significa que a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser igual ao raio da circunferência.
Mas, como não temos informações sobre o centro ou o raio de
, devemos inferir que a circunferência
está relacionada ao ponto
. Vamos assumir que
é o centro da circunferência
.
Passo 4
Com essa suposição, o centro da circunferência
é
. A equação da circunferência é então:
onde
é o raio que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Como a reta
é tangente à circunferência
, a distância do centro
até essa reta deve ser igual ao raio
.
A fórmula para a distância
de um ponto
até a reta
é:
Vamos reescrever a equação da reta na forma geral
para aplicar a fórmula.
Passo 6
Aplicando a fórmula da distância:
Como
é o raio da circunferência, e queremos que a distância seja exatamente
, temos:
Passo 7
Para que a reta seja tangente, a distância deve ser igual ao raio. Mas também sabemos que o raio é a distância do centro até a reta, então podemos resolver para
:
Mas, como
é
, substituindo temos:
Isso simplifica para
, o que é sempre verdadeiro. Isso indica que há duas soluções para
, correspondentes às duas retas paralelas que são tangentes à circunferência.
Passo 8
Para encontrar
, precisamos considerar que existem duas retas paralelas à
que são tangentes à circunferência
. Portanto, temos duas possibilidades para
:
Como já sabemos que
, podemos substituir para encontrar
.
No entanto, para simplificar, podemos escolher valores que satisfaçam a condição de tangência. Como temos que a nova reta é diferente de
, o valor de
será diferente de 1.
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Sabendo que
, substituímos:
Isso resulta em duas soluções:
-
que simplifica para (rejeitado, pois ) -
que simplifica para , então
Resposta
A equação da reta tangente à circunferência
que é paralela à reta
é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites laterais
(d)
(d)
Considere a reta
de equação
e o ponto
de coordenadas
. Encontre a equação da reta
que é perpendicular a
e passa pelo ponto P.
Calcule o valor de
,
e
.
Simplifique as seguinte expressões:
.