Considere a reta de equação e o ponto de coordenadas . Encontre a equação da reta tangente à circunferência que é paralela a reta (e difere de ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem uma reta com equação e um ponto . A tarefa é encontrar a equação de uma reta que seja tangente a uma circunferência , que seja paralela à reta e que seja diferente de .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre retas paralelas, distâncias entre pontos e retas, e sobre como encontrar a equação de uma reta tangente a uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, como queremos que a nova reta seja paralela à , ela precisa ter o mesmo coeficiente angular. A equação geral de uma reta paralela a será então da forma:
onde é o coeficiente linear que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos considerar que essa nova reta será tangente à circunferência . Isso significa que a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser igual ao raio da circunferência.
Mas, como não temos informações sobre o centro ou o raio de , devemos inferir que a circunferência está relacionada ao ponto . Vamos assumir que é o centro da circunferência .

Passo 4

Com essa suposição, o centro da circunferência é . A equação da circunferência é então:
onde é o raio que ainda precisamos determinar.

Passo 5

Como a reta é tangente à circunferência , a distância do centro até essa reta deve ser igual ao raio .
A fórmula para a distância de um ponto até a reta é:
Vamos reescrever a equação da reta na forma geral para aplicar a fórmula.

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
Como é o raio da circunferência, e queremos que a distância seja exatamente , temos:

Passo 7

Para que a reta seja tangente, a distância deve ser igual ao raio. Mas também sabemos que o raio é a distância do centro até a reta, então podemos resolver para :
Mas, como é , substituindo temos:
Isso simplifica para , o que é sempre verdadeiro. Isso indica que há duas soluções para , correspondentes às duas retas paralelas que são tangentes à circunferência.

Passo 8

Para encontrar , precisamos considerar que existem duas retas paralelas à que são tangentes à circunferência . Portanto, temos duas possibilidades para :
Como já sabemos que , podemos substituir para encontrar .
No entanto, para simplificar, podemos escolher valores que satisfaçam a condição de tangência. Como temos que a nova reta é diferente de , o valor de será diferente de 1.

Passo 9

Finalmente, resolvemos para :
Sabendo que , substituímos:
Isso resulta em duas soluções:
  1. que simplifica para (rejeitado, pois )
  2. que simplifica para , então

Resposta

A equação da reta tangente à circunferência que é paralela à reta é:

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Calcule os limites laterais
(d)
Considere a reta de equação e o ponto de coordenadas . Encontre a equação da reta que é perpendicular a e passa pelo ponto P.
Calcule o valor de , e .
Simplifique as seguinte expressões: .