Determine as equações vetoriais dos segmentos de reta que formam o triângulo de vértices (4,7,11),(-3,1,4) e (2,3,-3)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de Geometria Analítica onde precisamos encontrar as equações vetoriais dos lados de um triângulo. Os vértices do triângulo são os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para achar a equação vetorial de um segmento de reta, precisamos de um ponto por onde ele passa e de um vetor diretor. O vetor diretor é simplesmente a diferença entre as coordenadas dos dois pontos que formam o segmento.

Passo 3

Vamos começar pelo segmento AB = B - A = (-3-4, 1-7, 4-11) = (-7, -6, -7) . Os pontos são e .
Calculando o vetor diretor :

Passo 4

Agora, com o ponto r = A + t,AB onde t in [0,1] e o vetor r = 4711 + t -7-6-7 , podemos escrever a equação vetorial do segmento :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora vamos para o segmento BC = C - B = (2-(-3), 3-1, -3-4) = (5, 2, -7) com os pontos e .
Calculando o vetor diretor :

Passo 6

Com o ponto r = B + s,BC onde s in [0,1] e o vetor r = -314 + s 52-7 , a equação vetorial do segmento fica:
Substituindo os valores:

Passo 7

Por último, vamos encontrar a equação do segmento CA = A - C = (4-2, 7-3, 11-(-3)) = (2, 4, 14) com os pontos e .
Calculando o vetor diretor :

Passo 8

Com o ponto r = C + u,CA onde u in [0,1] e o vetor r = 23-3 + u 2414 , a equação vetorial do segmento fica:
Substituindo os valores:

Resposta

As equações vetoriais dos segmentos de reta que formam o triângulo são:
  1. Segmento AB:
r = 4711 + t -7-6-7, t in [0,1]
  1. Segmento BC:
r = -314 + s 52-7, s in [0,1]
  1. Segmento CA:
r = 23-3 + u 2414, u in [0,1]

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