Considere a reta r: x-12=y-31 e z=1. Mostre que o ponto P=(1,1,1) não pertence a r. Em seguida, encontre a equação do plano determinado por r e P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com geometria analítica no espaço. Precisamos verificar se o ponto está na reta dada pelas equações e . Depois, vamos encontrar a equação do plano que é determinado por essa reta e pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta x - 12 = y - 31 = t e z = 1 . A reta está descrita por duas equações paramétricas:
x = 1 + 2t
Aqui, y = 3 + t é o parâmetro que varia ao longo da reta. Podemos reescrever essas equações em forma paramétrica:
z = 1

Passo 3

Agora, para verificar se o ponto 1 = 1 + 2t Rightarrow 2t = 0 Rightarrow t = 0 pertence à reta 1 = 3 + t Rightarrow t = -2 , vamos tentar encontrar um valor de 1 = 1 que satisfaça as três equações paramétricas para , e .
Então, igualamos as coordenadas de às expressões paramétricas:

Passo 4

Observamos que para a coordenada , , e para , . Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça todas as coordenadas ao mesmo tempo. Portanto, o ponto não pertence à reta .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação do plano determinado pela reta e pelo ponto . Para isso, precisamos de dois vetores que estão no plano:
  1. Um vetor diretor da reta : a partir das equações paramétricas, o vetor diretor é .
  2. Um vetor que vai de um ponto da reta até o ponto . Vamos escolher o ponto quando na reta , que é . Então, o vetor é .

Passo 6

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre n = d times v = i & j & k 2 & 1 & 0 0 & -2 & 0 = (0, 0, -4) e :
Podemos simplificar o vetor normal para ou para facilitar.

Passo 7

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o ponto 0(x - 1) + 0(y - 1) + 1(z - 1) = 0 Rightarrow z - 1 = 0 Rightarrow z = 1 está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
Substituindo , , e :

Resposta

O ponto não pertence à reta . A equação do plano determinado por e é .

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