Considere a reta e . Mostre que o ponto não pertence a . Em seguida, encontre a equação do plano determinado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com geometria analítica no espaço. Precisamos verificar se o ponto está na reta dada pelas equações e . Depois, vamos encontrar a equação do plano que é determinado por essa reta e pelo ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta . A reta está descrita por duas equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta. Podemos reescrever essas equações em forma paramétrica:
Passo 3
Agora, para verificar se o ponto pertence à reta , vamos tentar encontrar um valor de que satisfaça as três equações paramétricas para , e .
Então, igualamos as coordenadas de às expressões paramétricas:
Passo 4
Observamos que para a coordenada , , e para , . Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça todas as coordenadas ao mesmo tempo. Portanto, o ponto não pertence à reta .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação do plano determinado pela reta e pelo ponto . Para isso, precisamos de dois vetores que estão no plano:
Um vetor diretor da reta : a partir das equações paramétricas, o vetor diretor é .
Um vetor que vai de um ponto da reta até o ponto . Vamos escolher o ponto quando na reta , que é . Então, o vetor é .
Passo 6
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre e :
Podemos simplificar o vetor normal para ou para facilitar.
Passo 7
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o ponto 0(x - 1) + 0(y - 1) + 1(z - 1) = 0 Rightarrow z - 1 = 0 Rightarrow z = 1 está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
Substituindo , , e :
Resposta
O ponto não pertence à reta . A equação do plano determinado por e é .