Determine, se possivel, k in R para que o sistema:
c x+2 y+3 z=2 x+y+z=k 2 x+3 y+4 z=k^2
a. (15) Possua infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, você tem um sistema de três equações com três incógnitas e quer descobrir para quais valores de ele terá infinitas soluções. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especialmente como as equações podem se relacionar entre si. Vamos precisar manipular as equações para ver quando elas se tornam dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que você forneceu:
x + 2y + 3z = 2 x + y + z = k 2x + 3y + 4z = k^2

Passo 3

A ideia aqui é simplificar o sistema para ver quando ele fica “redundante”, ou seja, quando uma das equações se torna uma combinação das outras. Vamos começar subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar o (x + 2y + 3z) - (x + y + z) = 2 - k :
y + 2z = 2 - k
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo entre a terceira equação e a segunda, mas dessa vez multiplicando a segunda equação por 2 antes de subtrair:
(2x + 3y + 4z) - 2(x + y + z) = k^2 - 2k
Simplificando:
2x + 3y + 4z - 2x - 2y - 2z = k^2 - 2k y + 2z = k^2 - 2k

Passo 5

Agora temos:
y + 2z = 2 - k y + 2z = k^2 - 2k
Para o sistema ter infinitas soluções, essas duas equações precisam ser iguais. Ou seja, os lados direitos devem ser iguais.

Passo 6

Então, igualamos os termos direitos das duas equações:
2 - k = k^2 - 2k
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 7

Reorganizando a equação:
k^2 - 2k - (2 - k) = 0 k^2 - 2k - 2 + k = 0 k^2 - k - 2 = 0
Agora, temos uma equação quadrática.

Passo 8

Resolvemos a equação quadrática k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 usando a fórmula de Bhaskara:
k = 1 + 32 = 2 e k = 1 - 32 = -1
Então, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que fazem o sistema ter infinitas soluções são e .

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