Determine, se possivel, k in R para que o sistema:
c x+2 y+3 z=2 x+y+z=k 2 x+3 y+4 z=k^2
a. (20) Para um desses k, escreva a matriz ampliada reduzida e ache todas as soluções.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três incógnitas, , e , e um parâmetro . Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem esse sistema ter solução. Depois, para um desses valores de , vamos montar a matriz ampliada reduzida e descobrir todas as soluções possíveis. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente de sistemas lineares e matrizes. Pronto para resolver? Vamos!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações. Nosso sistema é:
x + 2y + 3z = 2 x + y + z = k 2x + 3y + 4z = k^2
Então, a matriz ampliada fica assim:
1 & 2 & 3 & | & 2 1 & 1 & 1 & | & k 2 & 3 & 4 & | & k^2

Passo 3

Agora, vamos usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz e chegar à forma reduzida. O objetivo é ter zeros abaixo e acima dos pivôs (os números principais na diagonal). Vamos começar subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o Linha 2 - Linha 1 Rightarrow (1-1) , y + (1-2) , y + (1-3) , z = k - 2 dessas linhas.
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda:
Rightarrow 0x - y - 2z = k - 2
1 & 2 & 3 & | & 2 0 & -1 & -2 & | & k - 2 2 & 3 & 4 & | & k^2
Fica:
Linha 3 - 2 times Linha 1 Rightarrow (2-2*1) , x + (3-2*2) , y + (4-2*3) , z = k^2 - 2*2
Agora, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira:
Rightarrow 0x - 1y - 2z = k^2 - 4
1 & 2 & 3 & | & 2 0 & -1 & -2 & | & k - 2 0 & -1 & -2 & | & k^2 - 4
A matriz fica:

Passo 4

Observamos que as linhas 2 e 3 são semelhantes. Para que o sistema seja consistente (ou seja, tenha solução), os coeficientes devem ser proporcionais também nos termos constantes. Vamos igualar as equações das linhas 2 e 3:
-1y - 2z = k - 2
-1y - 2z = k^2 - 4
Como os lados esquerdo são iguais, os direitos também devem ser:
k - 2 = k^2 - 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar k^2 - 4 - k + 2 = 0 :
k^2 - k - 2 = 0
k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Resolvendo a equação quadrática:
k = 42 = 2 ou k = -22 = -1
Assim:
Então, os valores de que tornam o sistema consistente são e .

Passo 5

Vamos escolher 1 & 2 & 3 & | & 2 0 & -1 & -2 & | & 0 0 & -1 & -2 & | & 0 para continuar. Substituindo 1 & 2 & 3 & | & 2 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & -1 & -2 & | & 0 na matriz ampliada reduzida:
Linha 3 + Linha 2 Rightarrow 0x + 0y + 0z = 0
Podemos simplificar a segunda linha multiplicando por -1:
1 & 2 & 3 & | & 2 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0
Agora, somamos a segunda linha com a terceira para eliminar o y + 2z = 0 Rightarrow y = -2t :
x + 2y + 3z = 2 Rightarrow x + 2(-2t) + 3t = 2 Rightarrow x - 4t + 3t = 2 Rightarrow x - t = 2 Rightarrow x = 2 + t
A matriz fica:
Esse sistema indica que temos uma equação livre, ou seja, uma das variáveis não está restrita. Vamos considerar , onde é um parâmetro real.
Da segunda equação:
Da primeira equação:

Resposta

Para 1 & 2 & 3 & | & 2 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 , a matriz ampliada reduzida é:
x = 2 + t, y = -2t, z = t onde t in R
As soluções do sistema são:

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