a. (20) Para um desses k, escreva a matriz ampliada reduzida e ache todas as soluções.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três incógnitas, , e , e um parâmetro . Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem esse sistema ter solução. Depois, para um desses valores de , vamos montar a matriz ampliada reduzida e descobrir todas as soluções possíveis. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente de sistemas lineares e matrizes. Pronto para resolver? Vamos!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações. Nosso sistema é:
Agora, vamos usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz e chegar à forma reduzida. O objetivo é ter zeros abaixo e acima dos pivôs (os números principais na diagonal). Vamos começar subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o Linha 2 - Linha 1 Rightarrow (1-1) , y + (1-2) , y + (1-3) , z = k - 2 dessas linhas.
Observamos que as linhas 2 e 3 são semelhantes. Para que o sistema seja consistente (ou seja, tenha solução), os coeficientes devem ser proporcionais também nos termos constantes. Vamos igualar as equações das linhas 2 e 3:
-1y - 2z = k - 2
-1y - 2z = k^2 - 4
Como os lados esquerdo são iguais, os direitos também devem ser:
k - 2 = k^2 - 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar k^2 - 4 - k + 2 = 0 :
k^2 - k - 2 = 0
k = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Resolvendo a equação quadrática:
k = 42 = 2 ou k = -22 = -1
Assim:
Então, os valores de que tornam o sistema consistente são e .