Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto (1,1,1) e é paralela aos planos pi1: x+2 y-2 z=0 e pi2:-3 x+4 y-2 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (1,1,1) e que é paralela a dois planos dados: pi1: x+2 y-2 z=0 e pi2:-3 x+4 y-2 z=0. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a direção da reta que é paralela a esses planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção de uma reta que é paralela a dois planos deve ser perpendicular às normais desses planos. A normal de um plano é um vetor que é perpendicular a ele. Então, vamos encontrar os vetores normais dos planos pi1 e pi2.

Passo 3

Para o plano pi1: x+2 y-2 z=0, o vetor normal é n1 = (1, 2, -2).
Para o plano pi2: -3 x+4 y-2 z=0, o vetor normal é n2 = (-3, 4, -2).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores normais n1 e n2. Isso é feito calculando o produto vetorial entre n1 e n2. O resultado desse produto será o vetor diretor da reta que estamos procurando.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 2 & -2 -3 & 4 & -2
d = i(2 cdot (-2) - (-2) cdot 4) - j(1 cdot (-2) - (-2) cdot (-3)) + k(1 cdot 4 - 2 cdot (-3))
d = i(-4 + 8) - j(-2 -6) + k(4 +6)
d = i(4) - j(-8) + k(10)
d = (4, 8, 10)
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
d = (2, 4, 5)

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor d = (2, 4, 5) e sabemos que a reta passa pelo ponto (1,1,1), podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas têm a forma:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = z0 + c t
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pela qual a reta passa e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.

Passo 7

Substituindo os valores:
x = 1 + 2 t
y = 1 + 4 t
z = 1 + 5 t
Onde t é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta r são:
x = 1 + 2 t
y = 1 + 4 t
z = 1 + 5 t
onde t in R.

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