Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela a dois planos dados: e . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a direção da reta que é paralela a esses planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a direção de uma reta que é paralela a dois planos deve ser perpendicular às normais desses planos. A normal de um plano é um vetor que é perpendicular a ele. Então, vamos encontrar os vetores normais dos planos e .
Passo 3
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores normais e . Isso é feito calculando o produto vetorial entre e . O resultado desse produto será o vetor diretor da reta que estamos procurando.
Agora que temos o vetor diretor d = (2, 4, 5) e sabemos que a reta passa pelo ponto (1,1,1), podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas têm a forma:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = z0 + c t
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pela qual a reta passa e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.