Considere a reta r:(x, y, z)=(1,-t,-2+t), t in R, e o plano pi: x+y-z-1=0.
(a) Qual a posição relativa entre a reta r e o plano pi (paralelos e pi não contem r, paralelos e pi contem r ou concorrentes)?
(b) O ponto Q=(2,0,1) está mais próximo de pi ou de r ?

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo:
Temos uma reta definida por com , e um plano dado por .
Vamos usar geometria analítica para resolver:
  • Parte (a): Determinar a posição relativa entre a reta e o plano .
  • Parte (b): Verificar se o ponto está mais próximo de ou de .

Passo 2

Parte (a): Posição Relativa entre a Reta x = 1, y = -t, z = -2 + t e o Plano 1 + (-t) - (-2 + t) - 1 = 0
Primeiro, vamos verificar se a reta 1 - t + 2 - t - 1 = 0 (1 + 2 - 1) + (-t - t) = 0 2 - 2t = 0 -2t = -2 t = 1 está contida no plano , é paralela a mas não está contida, ou se intersecta .
Para isso, substituímos os parâmetros da reta na equação do plano.
A reta é dada por:
Substituindo na equação do plano :
Simplificando:
Encontramos um valor específico de , o que significa que existe um ponto na reta que pertence ao plano.

Passo 3

Como existe apenas um ponto de interseção, a reta não está contida no plano e não é paralela a . Portanto, elas são concorrentes, ou seja, se cruzam em exatamente um ponto.

Passo 4

Resposta da Parte (a):
A reta é concorrente ao plano ; elas se intersectam em exatamente um ponto.

Passo 5

Parte (b): Distância do Ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até o Plano A = 1, B = 1, C = -1, D = -1 e à Reta dpi = |1 cdot 2 + 1 cdot 0 - 1 cdot 1 -1|raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = |2 + 0 -1 -1|raiz1 + 1 + 1 = |0|raiz3 = 0
Vamos calcular as duas distâncias e compará-las.
1. Distância de d = |b times (Q - a)||b| ao Plano b times (Q - a) = i & j & k 0 & -1 & 1 1 & 0 & 3 = i(-1 cdot 3 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 3 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - (-1) cdot 1) = i(-3) - j(-1) + k(1) = (-3, 1, 1) :
A fórmula para a distância de um ponto |b times (Q - a)| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11 a um plano |b| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 é:
dr = raiz11raiz2 = raiz222 approx 2.345
Aplicando para e :
Surpresa! A distância é zero, o que indica que o ponto está no próprio plano .
2. Distância de à Reta :
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta parametrizada por é:
Primeiro, identificamos os vetores:
  • Ponto na reta : (quando )
  • Vetor diretor da reta : (coeficientes de )
  • Vetor de para :
Calculando o produto vetorial :
Agora, calculamos as magnitudes:
Portanto:

Passo 6

Comparando as Distâncias:
  • Distância de a : (está no plano)
  • Distância de a : Aproximadamente
Como , o ponto está mais próximo de do que de .

Resposta

(a) A reta é concorrente ao plano , ou seja, elas se intersectam em exatamente um ponto.
(b) O ponto está mais próximo do plano do que da reta .

Exercícios relacionados