Considere a reta , e o plano .
(a) Qual a posição relativa entre a reta e o plano (paralelos e não contem , paralelos contem ou concorrentes)?
(b) ponto está mais próximo de ou de ?
Passo 1
Resumo da Questão e Conteúdo:
Temos uma reta definida por com , e um plano dado por .
Vamos usar geometria analítica para resolver:
Parte (a): Determinar a posição relativa entre a reta e o plano .
Parte (b): Verificar se o ponto está mais próximo de ou de .
Passo 2
Parte (a): Posição Relativa entre a Reta e o Plano
Primeiro, vamos verificar se a reta está contida no plano , é paralela a mas não está contida, ou se intersecta .
Para isso, substituímos os parâmetros da reta na equação do plano.
A reta é dada por:
Substituindo na equação do plano :
Simplificando:
Encontramos um valor específico de , o que significa que existe um ponto na reta que pertence ao plano.
Passo 3
Como existe apenas um ponto de interseção, a reta não está contida no plano e não é paralela a . Portanto, elas são concorrentes, ou seja, se cruzam em exatamente um ponto.
Passo 4
Resposta da Parte (a):
A reta é concorrente ao plano ; elas se intersectam em exatamente um ponto.
Passo 5
Parte (b): Distância do Ponto até o Plano e à Reta
Vamos calcular as duas distâncias e compará-las.
1. Distância de ao Plano :
A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Aplicando para e :
Surpresa! A distância é zero, o que indica que o ponto está no próprio plano .
2. Distância de à Reta :
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta parametrizada por é:
Primeiro, identificamos os vetores:
Ponto na reta : (quando )
Vetor diretor da reta : (coeficientes de )
Vetor de para :
Calculando o produto vetorial :
Agora, calculamos as magnitudes:
Portanto:
Passo 6
Comparando as Distâncias:
Distância de a : (está no plano)
Distância de a : Aproximadamente
Como , o ponto está mais próximo de do que de .
Resposta
(a) A reta é concorrente ao plano , ou seja, elas se intersectam em exatamente um ponto.
(b) O ponto está mais próximo do plano do que da reta .