Considere a reta e o plano .
Calcule a distância de a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta e um plano . O objetivo é descobrir qual é a distância entre essa reta e o plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos, retas e planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
A reta está parametrizada por . Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
O plano é dado pela equação . Os coeficientes de e (ou seja, ) formam o vetor normal do plano.
Passo 3
Para encontrar a distância da reta ao plano, primeiro precisamos verificar se a reta é paralela ao plano. Isso acontece se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano. Vamos fazer o produto escalar desses vetores:
Como o produto escalar dá zero, significa que a reta é paralela ao plano .
Passo 4
Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta até o plano. Vamos escolher o ponto quando na reta:
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto até o plano :
No nosso caso, a equação do plano é , então , , e .
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Para deixar a resposta mais “arrumada”, podemos racionalizar o denominador: