Considere a reta
e o plano
.
Calcule a distância de
a
.
Calcule a distância de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta
e um plano
. O objetivo é descobrir qual é a distância entre essa reta e o plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos, retas e planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- A reta
está parametrizada por . Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta. - O plano
é dado pela equação . Os coeficientes de e (ou seja, ) formam o vetor normal do plano.
Passo 3
Para encontrar a distância da reta ao plano, primeiro precisamos verificar se a reta é paralela ao plano. Isso acontece se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano. Vamos fazer o produto escalar desses vetores:
Como o produto escalar dá zero, significa que a reta
é paralela ao plano
.
Passo 4
Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta até o plano. Vamos escolher o ponto quando
na reta:
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto
até o plano
:
No nosso caso, a equação do plano é
, então
,
,
e
.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Para deixar a resposta mais “arrumada”, podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A distância da reta
ao plano
é
unidades.