Considere a reta r:(x, y, z)=(1,0,1)+t(1,-1,0) e o plano Pi: x+y+z=0.
Calcule a distância de r a Pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta e um plano . O objetivo é descobrir qual é a distância entre essa reta e o plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos, retas e planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • A reta está parametrizada por . Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
  • O plano é dado pela equação . Os coeficientes de e (ou seja, ) formam o vetor normal do plano.

Passo 3

Para encontrar a distância da reta ao plano, primeiro precisamos verificar se a reta é paralela ao plano. Isso acontece se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano. Vamos fazer o produto escalar desses vetores:
Vetor diretor da reta cdot Vetor normal do plano = (1, -1, 0) cdot (1, 1, 1) = 1 times 1 + (-1) times 1 + 0 times 1 = 0
Como o produto escalar dá zero, significa que a reta é paralela ao plano .

Passo 4

Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta até o plano. Vamos escolher o ponto quando P(1, 0, 1) na reta:
Distância = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto até o plano :
â
No nosso caso, a equação do plano é , então , , e .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Distância = |1 times 1 + 1 times 0 + 1 times 1 + 0|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |2|raiz3 = 2raiz3 â
Para deixar a resposta mais “arrumada”, podemos racionalizar o denominador:
2raiz3 = 2raiz33

Resposta

A distância da reta ao plano é unidades.

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