Considere a reta e o plano .
Calcule a distância de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta e um plano . O objetivo é descobrir qual é a distância entre essa reta e o plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos, retas e planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • A reta está parametrizada por . Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
  • O plano é dado pela equação . Os coeficientes de e (ou seja, ) formam o vetor normal do plano.

Passo 3

Para encontrar a distância da reta ao plano, primeiro precisamos verificar se a reta é paralela ao plano. Isso acontece se o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano. Vamos fazer o produto escalar desses vetores:
Como o produto escalar dá zero, significa que a reta é paralela ao plano .

Passo 4

Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta até o plano. Vamos escolher o ponto quando na reta:
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto até o plano :
â
No nosso caso, a equação do plano é , então , , e .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
â
Para deixar a resposta mais “arrumada”, podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A distância da reta ao plano é unidades.

Exercícios relacionados

Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
, e .
Verifique se as retas e são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
(b)
Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(a)
Encontre condições sobre o vetor para que exista uma reta na direção de que intersecte simultaneamente as retas e .