Verifique se as retas e são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
(b)

Passo 1

Então, galera, a gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa descobrir se elas se cruzam, ou seja, se são concorrentes. Se elas se cruzarem, também vamos achar o ponto onde isso acontece. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas das retas e igualar os componentes de , e para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as retas se encontrarem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta. A reta está dada por:
Aqui, é o parâmetro da reta .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a reta . A reta está dada na forma simétrica:
Para facilitar, vamos introduzir um parâmetro que iguala essas expressões:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta :

Passo 4

Para verificar se as retas e são concorrentes, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Vamos igualar os componentes correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação (3), já temos . Vamos substituir esse valor de nas equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):

Passo 6

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a equação :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (2):
ãé
Como a equação (2) não é satisfeita, isso significa que não existe um ponto que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

As retas e não são concorrentes, ou seja, elas não se cruzam.

Exercícios relacionados

Sabendo que e , calcule a matriz indicada (se possível).
(n)
Determine os autovalores e os autovetores das matrizes:
Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
, e .
Considere a reta e o plano .
Calcule a distância de a .