Verifique se as retas e são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
(b) s: x-1=y-4=z
Passo 1
Então, galera, a gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa descobrir se elas se cruzam, ou seja, se são concorrentes. Se elas se cruzarem, também vamos achar o ponto onde isso acontece. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas das retas e igualar os componentes de , e para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as retas se encontrarem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta. A reta x = -4lambda y = 1 + 8lambda z = -1 - 2lambda está dada por:
Aqui, é o parâmetro da reta .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a reta x - 1 = y - 4 = z . A reta x - 1 = y - 4 = z = mu está dada na forma simétrica:
x = 1 + mu y = 4 + mu z = mu
Para facilitar, vamos introduzir um parâmetro que iguala essas expressões:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta :
Passo 4
Para verificar se as retas -4lambda = 1 + mu (1) e 1 + 8lambda = 4 + mu (2) são concorrentes, precisamos encontrar valores de -1 - 2lambda = mu (3) e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Vamos igualar os componentes correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação (3), já temos -4lambda = 1 + (-1 - 2lambda) -4lambda = 0 - 2lambda -4lambda + 2lambda = 0 -2lambda = 0 lambda = 0 . Vamos substituir esse valor de nas equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):
Passo 6
Agora que encontramos mu = -1 - 2(0) mu = -1 , vamos encontrar usando a equação :
Passo 7
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (2):
1 + 8(0) = 4 + (-1) 1 = 3 (Isso não é verdadeiro) ãé
Como a equação (2) não é satisfeita, isso significa que não existe um ponto que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Resposta
As retas e não são concorrentes, ou seja, elas não se cruzam.