Verifique se as retas e são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
(b)
Passo 1
Então, galera, a gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa descobrir se elas se cruzam, ou seja, se são concorrentes. Se elas se cruzarem, também vamos achar o ponto onde isso acontece. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas das retas e igualar os componentes de , e para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as retas se encontrarem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta. A reta está dada por:
Aqui, é o parâmetro da reta .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a reta . A reta está dada na forma simétrica:
Para facilitar, vamos introduzir um parâmetro que iguala essas expressões:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta :
Passo 4
Para verificar se as retas e são concorrentes, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Vamos igualar os componentes correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação (3), já temos . Vamos substituir esse valor de nas equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):
Passo 6
Agora que encontramos , vamos encontrar usando a equação :
Passo 7
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (2):
ãé
Como a equação (2) não é satisfeita, isso significa que não existe um ponto que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Resposta
As retas e não são concorrentes, ou seja, elas não se cruzam.