Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a interseção entre duas retas no espaço tridimensional. As retas dadas são:
  • Reta :
  • Reta :
Para resolver, vamos precisar usar o conceito de parametrização de retas e resolver um sistema de equações para encontrar o ponto onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar cada reta. Vamos chamar o parâmetro comum nas expressões de de e em de .
Para a reta :
Isso nos dá:
Para a reta :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora que temos as equações parametrizadas das duas retas, vamos igualar as coordenadas correspondentes para encontrar valores de e que satisfaçam ambas as retas ao mesmo tempo.
Igualando as coordenadas :
Igualando as coordenadas :
Igualando as coordenadas :

Passo 4

Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1), (2) e (3).
Primeiro, da equação (2):
Agora, da equação (3):
Substituindo da equação (4) na equação (3):
Agora que temos , substituímos na equação (4) para encontrar :

Passo 5

Com os valores de e encontrados, vamos determinar as coordenadas do ponto de interseção substituindo na parametrização da reta :

Resposta

As retas e se intersectam no ponto .

Exercícios relacionados

Considere a reta e o plano .
Calcule a distância de a .
Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
, e .
Encontre condições sobre o vetor para que exista uma reta na direção de que intersecte simultaneamente as retas e .
Obtenha a interseção da reta com o plano :
(b)