Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(a) r: x-22=y-33=z s: x=y3=1+z2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a interseção entre duas retas no espaço tridimensional. As retas dadas são:
  • Reta :
  • Reta :
Para resolver, vamos precisar usar o conceito de parametrização de retas e resolver um sistema de equações para encontrar o ponto onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar cada reta. Vamos chamar o parâmetro comum nas expressões de x-22 = y-33 = z = t de x = 2 + 2t e em y = 3 + 3t de z = t .
Para a reta x = y3 = 1+z2 = u :
x = u
Isso nos dá:
y = 3u
z = 2u - 1
Para a reta :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora que temos as equações parametrizadas das duas retas, vamos igualar as coordenadas correspondentes para encontrar valores de 2 + 2t = u (1) e 3 + 3t = 3u (2) que satisfaçam ambas as retas ao mesmo tempo.
Igualando as coordenadas t = 2u - 1 (3) :
Igualando as coordenadas :
Igualando as coordenadas :

Passo 4

Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1), (2) e (3).
Primeiro, da equação (2):
3 + 3t = 3u implies 1 + t = u (4)
Agora, da equação (3):
t = 2u - 1
Substituindo t = 2(1 + t) - 1 da equação (4) na equação (3):
t = 2 + 2t - 1
t = 1 + 2t
-t = 1
t = -1
u = 1 + (-1) = 0
Agora que temos , substituímos na equação (4) para encontrar :

Passo 5

Com os valores de x = 2 + 2(-1) = 0 e y = 3 + 3(-1) = 0 encontrados, vamos determinar as coordenadas do ponto de interseção substituindo z = -1 na parametrização da reta :

Resposta

As retas e se intersectam no ponto .

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