Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
r:lx=2+2 alpha y=1+alpha z=-1 , alpha in R, e s:lx=2-2 beta y=1-beta z=1 , beta in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a posição relativa e calcular a distância entre duas retas no espaço. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar as retas por meio de vetores e usar fórmulas de distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
Para a reta x = 2 + 2alpha y = 1 + alpha z = -1 , alpha in R :
x = 2 - 2beta y = 1 - beta z = 1 , beta in R
Para a reta :

Passo 3

Vamos representar cada reta na forma vetorial. Para a reta , temos um ponto inicial e um vetor diretor . Note que o componente da reta é constante, então o vetor diretor não tem componente .
Para a reta , o ponto inicial é e o vetor diretor é .

Passo 4

Agora, para determinar a posição relativa, precisamos verificar se as retas são paralelas, se elas se intersectam ou se são skew (retas que não são paralelas e não se intersectam).
Observando os vetores diretores e , percebemos que . Isso significa que as retas são paralelas.

Passo 5

Como as retas são paralelas, podemos calcular a distância entre elas usando a fórmula da distância entre uma reta e um ponto não pertencente a ela.
A fórmula para a distância d = |vr times PsPr||vr| entre a reta e o ponto da reta é:
onde é o vetor que vai de até .

Passo 6

Vamos calcular PsPr = Pr - Ps = (2 - 2, 1 - 1, -1 - 1) = (0, 0, -2) :
vr times PsPr = i & j & k 2 & 1 & 0 0 & 0 & -2 = i(1 cdot (-2) - 0 cdot 0) - j(2 cdot (-2) - 0 cdot 0) + k(2 cdot 0 - 1 cdot 0)
Agora, calculamos o produto vetorial = -2i + 4j + 0k = (-2, 4, 0) :

Passo 7

Calculamos o módulo do produto vetorial:
|vr times PsPr| = raiz(-2)^2 + 4^2 + 0^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5
Também calculamos o módulo do vetor diretor |vr| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 = raiz5 :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
d = 2raiz5raiz5 = 2

Resposta

As retas e são paralelas e a distância entre elas é de unidades.

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