Encontre condições sobre o vetor v=(a, b, c) para que exista uma reta na direção de v que intersecte simultaneamente as retas r:lx=2+t y=5-t z=3+t, t in R e s:lx=h y=1-h z=-2, h in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica envolvendo vetores e retas no espaço. Precisamos encontrar condições para os componentes do vetor v = (a, b, c) de modo que exista uma reta com direção v que interseccione simultaneamente as retas r e s dadas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de interseção de retas e condições de existência de soluções para sistemas de equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas r e s:
A reta r é dada por:
x = 2 + t y = 5 - t z = 3 + t , t in R
Isso significa que para cada valor de t, temos um ponto na reta r.
A reta s é dada por:
x = h y = 1 - h z = -2 , h in R
Aqui, para cada valor de h, temos um ponto na reta s.

Passo 3

Queremos que exista uma reta com direção v = (a, b, c) que intersecte tanto a reta r quanto a reta s. Vamos chamar essa reta de d. A equação paramétrica da reta d pode ser escrita como:
d = P + lambda v
Onde P é um ponto qualquer na reta d e lambda é o parâmetro.
Para que a reta d intercepte a reta r, deve haver valores de t e lambda tais que as coordenadas correspondentes sejam iguais:
2 + t = xP + lambda a 5 - t = yP + lambda b 3 + t = zP + lambda c
Similarmente, para que a reta d intercepte a reta s, devemos ter:
h = xP + mu a 1 - h = yP + mu b -2 = zP + mu c
Onde mu é outro parâmetro.

Passo 4

Vamos supor que o ponto de interseção da reta d com a reta r seja Pr e com a reta s seja Ps. Como a reta d tem a mesma direção para ambas as interseções, os vetores que ligam Pr a Ps devem ser múltiplos de v. Isso nos leva a estabelecer a igualdade entre os vetores resultantes das diferenças das coordenadas.

Passo 5

Ao resolver esses sistemas de equações, vamos encontrar relações entre a, b e c que devem ser satisfeitas para que essa interseção duplo aconteça. Essas relações serão as condições que buscamos para o vetor v.

Resposta

As condições para o vetor v = (a, b, c) serem:
a1 = b-1 = c1
Ou seja, os componentes devem satisfazer a relação a = -b e c = a. Portanto, para existir uma reta na direção de v que intersecte simultaneamente as retas r e s, é necessário que:
a = -b e c = a

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