Encontre condições sobre o vetor para que exista uma reta na direção de que intersecte simultaneamente as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica envolvendo vetores e retas no espaço. Precisamos encontrar condições para os componentes do vetor de modo que exista uma reta com direção que interseccione simultaneamente as retas e dadas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de interseção de retas e condições de existência de soluções para sistemas de equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas e :
A reta é dada por:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na reta .
A reta é dada por:
Aqui, para cada valor de , temos um ponto na reta .

Passo 3

Queremos que exista uma reta com direção que intersecte tanto a reta quanto a reta . Vamos chamar essa reta de . A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Onde é um ponto qualquer na reta e é o parâmetro.
Para que a reta intercepte a reta , deve haver valores de e tais que as coordenadas correspondentes sejam iguais:
Similarmente, para que a reta intercepte a reta , devemos ter:
Onde é outro parâmetro.

Passo 4

Vamos supor que o ponto de interseção da reta com a reta seja e com a reta seja . Como a reta tem a mesma direção para ambas as interseções, os vetores que ligam a devem ser múltiplos de . Isso nos leva a estabelecer a igualdade entre os vetores resultantes das diferenças das coordenadas.

Passo 5

Ao resolver esses sistemas de equações, vamos encontrar relações entre , e que devem ser satisfeitas para que essa interseção duplo aconteça. Essas relações serão as condições que buscamos para o vetor .

Resposta

As condições para o vetor serem:
Ou seja, os componentes devem satisfazer a relação e . Portanto, para existir uma reta na direção de que intersecte simultaneamente as retas e , é necessário que:

Exercícios relacionados

Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(a)
Considere a reta e o plano .
Calcule a distância de a .
Obtenha a interseção da reta com o plano :
(b)
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades: , onde,