a) Considere as retas e , onde e . Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por e são

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, e , onde os coeficientes satisfazem e . O objetivo aqui é mostrar que as bissetrizes dos ângulos formados por essas duas retas são dadas por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre bissetrizes de ângulos entre retas.

Passo 2

Primeiro, lembra que a bissetriz de um ângulo formado por duas retas é a reta que divide o ângulo em dois ângulos iguais. Para encontrar as bissetrizes entre e , podemos utilizar a fórmula das bissetrizes de ângulos entre duas retas.
A fórmula geral para as bissetrizes entre duas retas e é dada por:
No nosso caso, as retas e já estão normalizadas, ou seja, e . Isso simplifica a fórmula, já que as ra��zes denominadoras serão 1.

Passo 3

Aplicando a fórmula das bissetrizes às nossas retas e , temos:
O que simplifica para:
Vamos resolver essa equação para os dois casos do .

Passo 4

Caso positivo (+):
Rearranjando os termos:
Fatorando e :
Essa é uma das bissetrizes.

Passo 5

Caso negativo (-):
Distribuindo o sinal negativo:
Rearranjando os termos:
Fatorando e :
Essa é a outra bissetriz.

Resposta

Portanto, as duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas e são:

Exercícios relacionados

Suponha um sistema de coordenadas ortogonais. Considere o ponto e o vetor .
(b) Determine , onde
Sejam uma base de .
(a) Mostre que F é uma base de
Verifique se a função apresentada abaixo é um operador linear.
Resp.: Sim.
Considere a reta e o plano .
© Determine a equação paramétrica da reta que é a projeção ortogonal da reta sobre o plano , isto é está contida no plano .