s cup s^prime=P mid d(P, r)=d(P, r^prime)
a) Considere as retas r: a x+b y=c e r^prime: a^prime x+b^prime y=c^prime, onde a^2+b^2=1 e (a^prime)^2+(b^prime)^2=1. Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por r e r^prime são
(a-a^prime) x+(b-b^prime) y=c-c^prime e (a+a^prime) x+(b+b^prime) y=c+c^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas, (a - a')x + (b - b')y = c - c' e (a + a')x + (b + b')y = c + c' e , onde os coeficientes satisfazem e . O objetivo aqui é mostrar que as bissetrizes dos ângulos formados por essas duas retas são dadas por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre bissetrizes de ângulos entre retas.

Passo 2

Primeiro, lembra que a bissetriz de um ângulo formado por duas retas é a reta que divide o ângulo em dois ângulos iguais. Para encontrar as bissetrizes entre A1x + B1y + C1raizA1^2 + B1^2 = pm A2x + B2y + C2raizA2^2 + B2^2 e , podemos utilizar a fórmula das bissetrizes de ângulos entre duas retas.
A fórmula geral para as bissetrizes entre duas retas e é dada por:
No nosso caso, as retas e já estão normalizadas, ou seja, e . Isso simplifica a fórmula, já que as ra��zes denominadoras serão 1.

Passo 3

Aplicando a fórmula das bissetrizes às nossas retas ax + by - c1 = pm a'x + b'y - c'1 e ax + by - c = pm (a'x + b'y - c') , temos:
O que simplifica para:
Vamos resolver essa equação para os dois casos do .

Passo 4

Caso positivo (+):
ax + by - c = a'x + b'y - c'
Rearranjando os termos:
ax - a'x + by - b'y = c - c'
Fatorando (a - a')x + (b - b')y = c - c' e :
Essa é uma das bissetrizes.

Passo 5

Caso negativo (-):
ax + by - c = - (a'x + b'y - c')
Distribuindo o sinal negativo:
ax + by - c = -a'x - b'y + c'
Rearranjando os termos:
ax + a'x + by + b'y = c + c'
Fatorando (a + a')x + (b + b')y = c + c' e :
Essa é a outra bissetriz.

Resposta

Portanto, as duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas (a - a')x + (b - b')y = c - c' e (a + a')x + (b + b')y = c + c' e são:

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