Considere a reta r:-x+1=-y2=z+12 e o plano pi: x-z+1=0.
(b) Qual o ângulo formado pela reta r e pelo plano pi ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta e um plano , e a pergunta é sobre o ângulo que a reta forma com o plano. Para isso, vamos precisar de alguns conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, vetores normais e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta -r + 1 = -y2 = z + 12 . A equação da reta está na forma simétrica:
-r + 1 = t Rightarrow r = -t + 1
Podemos reescrever isso parametrizando em relação a um parâmetro -y2 = t Rightarrow y = -2t :
z + 12 = t Rightarrow z = 2t - 1
d = lang<= -1, -2, 2 rang<=
Assim, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano x - z + 1 = 0 que tem a equação:
n = lang<= 1, 0, -1 rang<=
O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Neste caso, como não há termo em , o vetor normal é:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o ângulo entre a reta d cdot n = ||d|| cdot ||n|| cdot cos(theta) e o plano . Esse ângulo pode ser encontrado calculando o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o ângulo entre e .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar d cdot n = (-1)(1) + (-2)(0) + (2)(-1) = -1 + 0 - 2 = -3 :

Passo 6

Agora, calculamos as normas (comprimentos) dos vetores ||d|| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 e ||n|| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 :

Passo 7

Substituindo na fórmula do produto escalar:
-3 = 3 cdot raiz2 cdot cos(theta)
Resolvendo para cos(theta) = -33 cdot raiz2 = -1raiz2 :
theta = arccos( -1raiz2 ) = 135^circ
Calculando :

Passo 8

O ângulo entre a reta e o plano é complementar ao ângulo phi = 90^circ - theta = 90^circ - 135^circ = -45^circ que encontramos, ou seja:
phi = 45^circ
Como o ângulo não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O ângulo formado pela reta e pelo plano é de .

Exercícios relacionados