Considere a reta
e o plano
.
(b) Qual o ângulo formado pela reta
e pelo plano
?
(b) Qual o ângulo formado pela reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta
e um plano
, e a pergunta é sobre o ângulo que a reta forma com o plano. Para isso, vamos precisar de alguns conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, vetores normais e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta
. A equação da reta está na forma simétrica:
Podemos reescrever isso parametrizando em relação a um parâmetro
:
Assim, o vetor diretor da reta
é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano
que tem a equação:
O vetor normal ao plano
é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano. Neste caso, como não há termo em
, o vetor normal é:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o ângulo entre a reta
e o plano
. Esse ângulo pode ser encontrado calculando o ângulo entre o vetor diretor da reta
e o vetor normal do plano
.
Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos as normas (comprimentos) dos vetores
e
:
Passo 7
Substituindo na fórmula do produto escalar:
Resolvendo para
:
Calculando
:
Passo 8
O ângulo entre a reta e o plano é complementar ao ângulo
que encontramos, ou seja:
Como o ângulo não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O ângulo formado pela reta
e pelo plano
é de
.
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Sejam
e
vetores em
. O vetor
pertence ao subespaço gerado
?
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