Considere a reta e o plano .
(b) Qual o ângulo formado pela reta e pelo plano ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta e um plano , e a pergunta é sobre o ângulo que a reta forma com o plano. Para isso, vamos precisar de alguns conceitos de geometria analítica, como vetores diretores, vetores normais e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Podemos reescrever isso parametrizando em relação a um parâmetro :
Assim, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano que tem a equação:
O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Neste caso, como não há termo em , o vetor normal é:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o ângulo entre a reta e o plano . Esse ângulo pode ser encontrado calculando o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o ângulo entre e .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos as normas (comprimentos) dos vetores e :

Passo 7

Substituindo na fórmula do produto escalar:
Resolvendo para :
Calculando :

Passo 8

O ângulo entre a reta e o plano é complementar ao ângulo que encontramos, ou seja:
Como o ângulo não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O ângulo formado pela reta e pelo plano é de .

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