Para a hipérbole, determine: as assíntotas, medida do eixo transverso, medida do eixo conjugado, coordenadas dos vértices e dos focos. Faça os esboços das hipérboles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é analisar a equação da hipérbole dada:
. A matéria que estamos mexendo aqui é sobre hipérboles, que são um tipo de cônica. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar as propriedades da hipérbole, como assíntotas, medida dos eixos transverso e conjugado, além das coordenadas dos vértices e dos focos.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para o formato padrão da hipérbole. A equação geral da hipérbole é:
ou
Dependendo de como está a hipérbole. No nosso caso, a equação é
. Vamos rearranjar para se assemelhar ao formato padrão:
Então, identificamos que:
Passo 3
Com esses valores, vamos encontrar a e b:
Aqui, a representa a medida do eixo transverso e b a do eixo conjugado.
Passo 4
Agora, vamos identificar o c que é a distância do centro aos focos. Para hipérboles, a relação é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Como a equação está na forma
, sabemos que a hipérbole abre para cima e para baixo. O centro está na origem
.
Vértices são os pontos onde a hipérbole intercepta o eixo transverso, então:
Focos ficam a uma distância c do centro ao longo do eixo transverso:
Passo 6
As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando vai para o infinito. A fórmula das assíntotas para hipérbole que abre verticalmente é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Medida dos eixos:
- Eixo Transverso: É o eixo que passa pelos vértices.
- Eixo Conjugado: É perpendicular ao eixo transverso.
Resposta
- Assíntotas:
e - Eixo Transverso: 2 unidades
- Eixo Conjugado:
unidades - Vértices:
e - Focos:
e
Esboço das Hipérboles
A hipérbole abre para cima e para baixo, com centro na origem. As assíntotas são linhas inclinadas com coeficiente angular 4 e -4. Os vértices estão a 1 unidade acima e abaixo do centro, e os focos estão um pouco mais afastados nessas direções.
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Considere a reta
e o plano
.
(b) Qual o ângulo formado pela reta e pelo plano
?
(b) Qual o ângulo formado pela reta
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de
que
(a) equidistam das retas
(a) equidistam das retas
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