Para a hipérbole, determine: as assíntotas, medida do eixo transverso, medida do eixo conjugado, coordenadas dos vértices e dos focos. Faça os esboços das hipérboles.
16 x^2=y^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é analisar a equação da hipérbole dada: . A matéria que estamos mexendo aqui é sobre hipérboles, que são um tipo de cônica. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar as propriedades da hipérbole, como assíntotas, medida dos eixos transverso e conjugado, além das coordenadas dos vértices e dos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para o formato padrão da hipérbole. A equação geral da hipérbole é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
ou
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Dependendo de como está a hipérbole. No nosso caso, a equação é y^2 - 16x^2 = 1 implies y^21 - x^2116 = 1 . Vamos rearranjar para se assemelhar ao formato padrão:
a^2 = 1 e b^2 = 116
Então, identificamos que:

Passo 3

Com esses valores, vamos encontrar a e b:
a = raiz1 = 1
b = raiz116 = 14
Aqui, a representa a medida do eixo transverso e b a do eixo conjugado.

Passo 4

Agora, vamos identificar o c que é a distância do centro aos focos. Para hipérboles, a relação é:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores:
c^2 = 1 + 116 = 1716 implies c = raiz1716 = raiz174

Passo 5

Como a equação está na forma (0, pm a) = (0, pm 1) , sabemos que a hipérbole abre para cima e para baixo. O centro está na origem (0, pm c) = (0, pm raiz174) .
Vértices são os pontos onde a hipérbole intercepta o eixo transverso, então:
Focos ficam a uma distância c do centro ao longo do eixo transverso:

Passo 6

As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando vai para o infinito. A fórmula das assíntotas para hipérbole que abre verticalmente é:
y = pm ab x
Substituindo os valores:
y = pm 114 x = pm 4x

Passo 7

Medida dos eixos:
  • Eixo Transverso: É o eixo que passa pelos vértices.
2a = 2 times 1 = 2
  • Eixo Conjugado: É perpendicular ao eixo transverso.
2b = 2 times 14 = 12

Resposta

  • Assíntotas: e
  • Eixo Transverso: 2 unidades
  • Eixo Conjugado: unidades
  • Vértices: e
  • Focos: e

Esboço das Hipérboles

A hipérbole abre para cima e para baixo, com centro na origem. As assíntotas são linhas inclinadas com coeficiente angular 4 e -4. Os vértices estão a 1 unidade acima e abaixo do centro, e os focos estão um pouco mais afastados nessas direções.

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