Para a hipérbole, determine: as assíntotas, medida do eixo transverso, medida do eixo conjugado, coordenadas dos vértices e dos focos. Faça os esboços das hipérboles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é analisar a equação da hipérbole dada: . A matéria que estamos mexendo aqui é sobre hipérboles, que são um tipo de cônica. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar as propriedades da hipérbole, como assíntotas, medida dos eixos transverso e conjugado, além das coordenadas dos vértices e dos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para o formato padrão da hipérbole. A equação geral da hipérbole é:
ou
Dependendo de como está a hipérbole. No nosso caso, a equação é . Vamos rearranjar para se assemelhar ao formato padrão:
Então, identificamos que:

Passo 3

Com esses valores, vamos encontrar a e b:
Aqui, a representa a medida do eixo transverso e b a do eixo conjugado.

Passo 4

Agora, vamos identificar o c que é a distância do centro aos focos. Para hipérboles, a relação é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Como a equação está na forma , sabemos que a hipérbole abre para cima e para baixo. O centro está na origem .
Vértices são os pontos onde a hipérbole intercepta o eixo transverso, então:
Focos ficam a uma distância c do centro ao longo do eixo transverso:

Passo 6

As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando vai para o infinito. A fórmula das assíntotas para hipérbole que abre verticalmente é:
Substituindo os valores:

Passo 7

Medida dos eixos:
  • Eixo Transverso: É o eixo que passa pelos vértices.
  • Eixo Conjugado: É perpendicular ao eixo transverso.

Resposta

  • Assíntotas: e
  • Eixo Transverso: 2 unidades
  • Eixo Conjugado: unidades
  • Vértices: e
  • Focos: e

Esboço das Hipérboles

A hipérbole abre para cima e para baixo, com centro na origem. As assíntotas são linhas inclinadas com coeficiente angular 4 e -4. Os vértices estão a 1 unidade acima e abaixo do centro, e os focos estão um pouco mais afastados nessas direções.

Exercícios relacionados

Para a elipse, calcule: a medida do eixo maior, a medida do eixo menor, coordenadas dos vértices e dos focos. Faça os esboços das elipses.
Considere a reta e o plano .
(b) Qual o ângulo formado pela reta e pelo plano ?
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas
Para a parábola, determine: o parâmetro, o foco e a reta diretriz. Faça os esboços das parábolas.