Para a elipse, calcule: a medida do eixo maior, a medida do eixo menor, coordenadas dos vértices e dos focos. Faça os esboços das elipses.
16 x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar a medida do eixo maior, do eixo menor, as coordenadas dos vértices e dos focos dessa elipse que está descrita pela equação . Para isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e entender como identificar cada uma dessas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral da equação da elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Comparando com a nossa equação , observamos que não há termos de e deslocados, então o centro da elipse é na origem . Agora, vamos identificar os valores de e .

Passo 4

Vamos dividir a equação por 1 para deixar na forma padrão:
x^2116 + y^21 = 1
Assim, temos:
a^2 = 116 Rightarrow a = 14
b^2 = 1 Rightarrow b = 1

Passo 5

Agora, identificamos que como , o eixo maior está na direção e o eixo menor na direção .
  • Eixo maior:
  • Eixo menor:

Passo 6

Para encontrar os vértices e focos:
  • Vértices: São dois pontos no eixo maior, então são (0, 1) e (0, -1) e (0, raiz154) e (0, -raiz154) :
  • Focos: A distância dos focos ao centro é , onde . Então, os focos estão em:

Resposta

  • Eixo maior:
  • Eixo menor:
  • Vértices: e
  • Focos: e

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