Considere as retas
Mostre que as retas e são reversas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional, chamadas e , e precisamos mostrar que elas são reversas, ou seja, que elas não são paralelas e também não se cruzam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e sistemas de equações para verificar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as vetores diretores de cada reta. Esses vetores indicam a direção em que cada reta está seguindo.
Para a reta :
A equação está na forma simétrica:
Podemos escrever o vetor diretor de como .
Para a reta :
A equação está na forma paramétrica:
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Isso acontece se os vetores diretores forem múltiplos entre si, ou seja, se existir um número real tal que:
Comparando os componentes:
Resolvendo a primeira equação, temos . Mas na segunda equação:
E na terceira:
Isso não é verdade. Portanto, não existe um comum para todas as componentes, o que significa que as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se intersectam, ou seja, se existe um ponto que pertence às duas retas simultaneamente.
Vamos igualar as equações das retas:
Para a reta :
Para a reta :
Precisamos encontrar valores de e que satisfaçam:
Resolvendo a equação (1) para :
Substituindo na equação (2):
Isso não faz sentido, ou seja, não existe solução para e que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, as retas não se cruzam.

Resposta

Como as retas e não são paralelas e também não têm nenhum ponto em comum, elas são reversas.

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