Considere as retas
r: x-12=-1-y4=z-24 s:l x=-1+t y=4-2 t z=-8+t
Mostre que as retas r e s são reversas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional, chamadas r e s, e precisamos mostrar que elas são reversas, ou seja, que elas não são paralelas e também não se cruzam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e sistemas de equações para verificar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as vetores diretores de cada reta. Esses vetores indicam a direção em que cada reta está seguindo.
Para a reta r:
A equação está na forma simétrica:
x-12 = -1 - y4 = z-24
Podemos escrever o vetor diretor de r como vr = (2, -4, 4).
Para a reta s:
A equação está na forma paramétrica:
x = -1 + t y = 4 - 2t z = -8 + t
O vetor diretor de s é vs = (1, -2, 1).

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Isso acontece se os vetores diretores forem múltiplos entre si, ou seja, se existir um número real k tal que:
vr = k cdot vs
Comparando os componentes:
2 = k cdot 1 -4 = k cdot (-2) 4 = k cdot 1
Resolvendo a primeira equação, temos k = 2. Mas na segunda equação:
-4 = 2 cdot (-2) -4 = -4
E na terceira:
4 = 2 cdot 1 4 = 2
Isso não é verdade. Portanto, não existe um k comum para todas as componentes, o que significa que as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se intersectam, ou seja, se existe um ponto que pertence às duas retas simultaneamente.
Vamos igualar as equações das retas:
Para a reta r:
x = 1 + 2lambda y = -1 - 4lambda z = 2 + 4lambda
Para a reta s:
x = -1 + t y = 4 - 2t z = -8 + t
Precisamos encontrar valores de lambda e t que satisfaçam:
1 + 2lambda = -1 + t (1) -1 - 4lambda = 4 - 2t (2) 2 + 4lambda = -8 + t (3)
Resolvendo a equação (1) para t:
t = 1 + 2lambda + 1 t = 2 + 2lambda
Substituindo t na equação (2):
-1 - 4lambda = 4 - 2(2 + 2lambda) -1 - 4lambda = 4 - 4 - 4lambda -1 - 4lambda = 0 - 4lambda -1 = 0
Isso não faz sentido, ou seja, não existe solução para lambda e t que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, as retas não se cruzam.

Resposta

Como as retas r e s não são paralelas e também não têm nenhum ponto em comum, elas são reversas.

Exercícios relacionados