Determine o valor de que torna os vetores linearmente dependentes.
Passo 1
Entendendo o problema
Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos determinar o valor de que faz com que três vetores sejam linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz formada por esses vetores e encontrar o valor de que torna esse determinante igual a zero.
Passo 2
Organizando os vetores em uma matriz
Primeiro, vamos organizar os três vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz:
3 & -6 & 9 -6 & 4 & h 1 & -3 & 3
Passo 3
Calculando o determinante da matriz
Para verificar a dependência linear, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes. Vamos calcular passo a passo:
Determinante = 3 times (4 times 3 - h times (-3)) - (-6) times (-6 times 3 - h times 1) + 9 times (-6 times (-3) - 4 times 1)
Simplificando cada parte:
Determinante = 3 times (12 + 3h) - (-6) times (-18 - h) + 9 times (18 - 4)
= 3 times 12 + 3 times 3h - (-6) times (-18) - (-6) times h + 9 times 14
= 36 + 9h - 108 - 6h + 126
Substituindo de volta:
Continuando:
Passo 4
Resolvendo para 36 - 108 + 126 = 54
Agora, somamos os termos semelhantes:
9h - 6h = 3h
54 + 3h = 0
Então, o determinante fica:
3h = -54 h = -18
Para encontrar :
Resposta
O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .