Determine o valor de que torna os vetores linearmente dependentes.

Passo 1

**Entendendo o problema** Vamos resolver um exercício de **álgebra linear** onde precisamos determinar o valor de que faz com que três vetores sejam **linearmente dependentes**. Isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos precisar calcular o **determinante** da matriz formada por esses vetores e encontrar o valor de que torna esse determinante igual a zero.

Passo 2

**Organizando os vetores em uma matriz** Primeiro, vamos organizar os três vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz:

Passo 3

**Calculando o determinante da matriz** Para verificar a dependência linear, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes. Vamos calcular passo a passo: Simplificando cada parte: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Substituindo de volta: Continuando:

Passo 4

**Resolvendo para ** Agora, somamos os termos semelhantes: Então, o determinante fica: Para encontrar :

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .

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