Sejam e . Seja o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de .
O vetor pertence a ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e um vetor . O conjunto é formado por todas as combinações lineares das colunas de , ou seja, todos os vetores que podemos obter multiplicando cada coluna de por algum número e somando os resultados. Nosso objetivo aqui é descobrir se o vetor está dentro desse conjunto .
Passo 2
Para verificar se pertence a , precisamos ver se existe uma solução para a equação . Isso significa encontrar um vetor tal que, quando multiplicamos a matriz por , obtenhamos exatamente . Se conseguirmos encontrar tal , então está em . Para isso, vamos montar o sistema de equações baseado em .
Passo 3
Vamos escrever o sistema de equações:
Aqui, , e são as incógnitas que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Primeiro, vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Passo 5
Vamos começar eliminando das equações 2 e 3. Para isso, adicionamos à segunda linha a metade da primeira linha multiplicada por 1, e subtraímos a primeira linha da terceira:
Passo 6
Agora, vamos eliminar da terceira equação. Para isso, adicionamos à terceira linha da segunda linha:
Passo 7
Com o sistema escalonado, podemos agora resolver de baixo para cima. A terceira equação nos dá:
Passo 8
Substituindo na segunda equação:
Passo 9
Finalmente, substituímos e na primeira equação:
Resposta
Sim, o vetor pertence a . A solução do sistema é , e .