Sejam A=[ccc2 & 0 & 6 -1 & 8 & 5 1 & -2 & 1] e b=[c10 3 7]. Seja W o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A.
O vetor b pertence a W ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A e um vetor b. O conjunto W é formado por todas as combinações lineares das colunas de A, ou seja, todos os vetores que podemos obter multiplicando cada coluna de A por algum número e somando os resultados. Nosso objetivo aqui é descobrir se o vetor b está dentro desse conjunto W.

Passo 2

Para verificar se b pertence a W, precisamos ver se existe uma solução para a equação Ax = b. Isso significa encontrar um vetor x tal que, quando multiplicamos a matriz A por x, obtenhamos exatamente b. Se conseguirmos encontrar tal x, então b está em W. Para isso, vamos montar o sistema de equações baseado em Ax = b.

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações:
2x1 + 0x2 + 6x3 = 10 -1x1 + 8x2 + 5x3 = 3 1x1 - 2x2 + 1x3 = 7
Aqui, x1, x2 e x3 são as incógnitas que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Primeiro, vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada:
[ccc|c 2 & 0 & 6 & 10 -1 & 8 & 5 & 3 1 & -2 & 1 & 7 ]

Passo 5

Vamos começar eliminando x1 das equações 2 e 3. Para isso, adicionamos à segunda linha a metade da primeira linha multiplicada por 1, e subtraímos a primeira linha da terceira:
[ccc|c 2 & 0 & 6 & 10 0 & 8 & 8 & 8 0 & -2 & -5 & 2 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar x2 da terceira equação. Para isso, adicionamos à terceira linha 14 da segunda linha:
[ccc|c 2 & 0 & 6 & 10 0 & 8 & 8 & 8 0 & 0 & -3 & 4 ]

Passo 7

Com o sistema escalonado, podemos agora resolver de baixo para cima. A terceira equação nos dá:
-3x3 = 4 Rightarrow x3 = -43

Passo 8

Substituindo x3 na segunda equação:
8x2 + 8(-43) = 8 Rightarrow 8x2 - 323 = 8 Rightarrow 8x2 = 563 Rightarrow x2 = 73

Passo 9

Finalmente, substituímos x2 e x3 na primeira equação:
2x1 + 6(-43) = 10 Rightarrow 2x1 - 8 = 10 Rightarrow 2x1 = 18 Rightarrow x1 = 9

Resposta

Sim, o vetor b pertence a W. A solução do sistema é x1 = 9, x2 = dfrac73 e x3 = -dfrac43.

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