Sejam e . Seja o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de .
O vetor pertence a ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e um vetor . O conjunto é formado por todas as combinações lineares das colunas de , ou seja, todos os vetores que podemos obter multiplicando cada coluna de por algum número e somando os resultados. Nosso objetivo aqui é descobrir se o vetor está dentro desse conjunto .

Passo 2

Para verificar se pertence a , precisamos ver se existe uma solução para a equação . Isso significa encontrar um vetor tal que, quando multiplicamos a matriz por , obtenhamos exatamente . Se conseguirmos encontrar tal , então está em . Para isso, vamos montar o sistema de equações baseado em .

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações:
Aqui, , e são as incógnitas que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Primeiro, vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada:

Passo 5

Vamos começar eliminando das equações 2 e 3. Para isso, adicionamos à segunda linha a metade da primeira linha multiplicada por 1, e subtraímos a primeira linha da terceira:

Passo 6

Agora, vamos eliminar da terceira equação. Para isso, adicionamos à terceira linha da segunda linha:

Passo 7

Com o sistema escalonado, podemos agora resolver de baixo para cima. A terceira equação nos dá:

Passo 8

Substituindo na segunda equação:

Passo 9

Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Resposta

Sim, o vetor pertence a . A solução do sistema é , e .

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