1. Reformule os conceitos do item i) e definida potência de um ponto com respeito a uma esfera. Considere esferas Ei em R^3 com centros Pi=(xi, yi, zi) e raios ri.
    Defina os conjuntos
pii j=P: p(P, Ei)=p(P, Ej)
i) Mostre que para i neq j o conjunto pii j é um plano ortogonal a reta que passa pelos centros Pi e Pj.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para a gente reformular os conceitos de potência de um ponto em relação a uma esfera. Temos várias esferas no espaço tridimensional, cada uma com seu centro e raio . A gente precisa definir um conjunto de pontos onde a potência de um ponto em relação à esfera é igual à potência desse mesmo ponto em relação à esfera . O objetivo é mostrar que, para esferas diferentes ( ), esse conjunto forma um plano que é perpendicular à reta que une os centros e . Vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a potência de um ponto em relação a uma esfera. A potência de um ponto p(P, E) = PC^2 - r^2 em relação a uma esfera com centro e raio é dada por:
Aqui, é a distância entre o ponto e o centro da esfera . Essa fórmula nos dá uma medida que nos indica se o ponto está dentro, na superfície ou fora da esfera.

Passo 3

Agora, vamos definir o conjunto piij = P : p(P, Ei) = p(P, Ej) como o conjunto de todos os pontos P Pi^2 - ri^2 = P Pj^2 - rj^2 onde a potência em relação à esfera é igual à potência em relação à esfera :
Substituindo a definição da potência de ponto, temos:

Passo 4

Vamos expandir as distâncias P Pi^2 = (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 e P Pj^2 = (x - xj)^2 + (y - yj)^2 + (z - zj)^2 em termos das coordenadas. Seja (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 - ri^2 = (x - xj)^2 + (y - yj)^2 + (z - zj)^2 - rj^2 , então:
Substituindo na equação anterior:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Expandindo os termos quadráticos:
x^2 - 2x xi + xi^2 + y^2 - 2y yi + yi^2 + z^2 - 2z zi + zi^2 - ri^2 = x^2 - 2x xj + xj^2 + y^2 - 2y yj + yj^2 + z^2 - 2z zj + zj^2 - rj^2
Percebemos que -2x xi + xi^2 - 2y yi + yi^2 - 2z zi + zi^2 - ri^2 = -2x xj + xj^2 - 2y yj + yj^2 - 2z zj + zj^2 - rj^2 e aparecem em ambos os lados e se cancelam:

Passo 6

Vamos reorganizar os termos para isolar os coeficientes de -2x (xi - xj) - 2y (yi - yj) - 2z (zi - zj) = xj^2 - xi^2 + yj^2 - yi^2 + zj^2 - zi^2 + ri^2 - rj^2 e x (xj - xi) + y (yj - yi) + z (zj - zi) = 12 ( xj^2 - xi^2 + yj^2 - yi^2 + zj^2 - zi^2 + ri^2 - rj^2 ) :
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 7

Observamos que essa é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação tem a forma:
A x + B y + C z = D
Onde , , e é o termo constante do lado direito.

Passo 8

O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes , que é justamente o vetor que conecta os centros das esferas e . Isso significa que o plano é perpendicular à reta que passa por e .

Resposta

Portanto, mostramos que o conjunto é de fato um plano que é ortogonal à reta que une os centros e .

Exercícios relacionados