Reformule os conceitos do item i) e definida potência de um ponto com respeito a uma esfera. Considere esferas em com centros e raios .
Defina os conjuntos
i) Mostre que para o conjunto é um plano ortogonal a reta que passa pelos centros e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para a gente reformular os conceitos de potência de um ponto em relação a uma esfera. Temos várias esferas no espaço tridimensional, cada uma com seu centro e raio . A gente precisa definir um conjunto de pontos onde a potência de um ponto em relação à esfera é igual à potência desse mesmo ponto em relação à esfera . O objetivo é mostrar que, para esferas diferentes (), esse conjunto forma um plano que é perpendicular à reta que une os centros e . Vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a potência de um ponto em relação a uma esfera. A potência de um ponto em relação a uma esfera com centro e raio é dada por:
Aqui, é a distância entre o ponto e o centro da esfera . Essa fórmula nos dá uma medida que nos indica se o ponto está dentro, na superfície ou fora da esfera.
Passo 3
Agora, vamos definir o conjunto como o conjunto de todos os pontos onde a potência em relação à esfera é igual à potência em relação à esfera :
Substituindo a definição da potência de ponto, temos:
Passo 4
Vamos expandir as distâncias e em termos das coordenadas. Seja , então:
Substituindo na equação anterior:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Expandindo os termos quadráticos:
Percebemos que e aparecem em ambos os lados e se cancelam:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos para isolar os coeficientes de e :
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 7
Observamos que essa é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação tem a forma:
Onde , , e é o termo constante do lado direito.
Passo 8
O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes , que é justamente o vetor que conecta os centros das esferas e . Isso significa que o plano é perpendicular à reta que passa por e .
Resposta
Portanto, mostramos que o conjunto é de fato um plano que é ortogonal à reta que une os centros e .