Considere as retas
b) Determine, se existir, o ponto de interseção das retas e .

Passo 1

Beleza, então a gente tem duas retas no espaço e precisa descobrir se elas se encontram em algum ponto, ou seja, se têm um ponto em comum. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar escrever as equações das retas de forma paramétrica e ver se conseguimos achar um conjunto de parâmetros que satisfaça ambas as retas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a reta em forma paramétrica. A equação dada é:
Vamos chamar cada uma dessas frações de um parâmetro, digamos . Assim, podemos escrever:
Então, a reta fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta , que já está em forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro dessa reta.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos que as coordenadas , e das duas retas sejam iguais no mesmo ponto. Então, vamos igualar as equações correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):
Com , substituímos de volta para encontrar :
Agora, vamos verificar com a equação (3):
Tudo bateu certinho!

Resposta

As retas e se interceptam no ponto .

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