Considere as retas
r: x-12=-1-y4=z-24 s:lrr x= & -1+t y=4 & -t z= & -1+3 t
b) Determine, se existir, o ponto de interseção das retas r e s.

Passo 1

Beleza, então a gente tem duas retas no espaço e precisa descobrir se elas se encontram em algum ponto, ou seja, se têm um ponto em comum. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar escrever as equações das retas de forma paramétrica e ver se conseguimos achar um conjunto de parâmetros que satisfaça ambas as retas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a reta r: x-12 = -1-y4 = z-24 em forma paramétrica. A equação dada é:
x = 1 + 2lambda
Vamos chamar cada uma dessas frações de um parâmetro, digamos y = -1 - 4lambda . Assim, podemos escrever:
z = 2 + 4lambda
r: x = 1 + 2lambda y = -1 - 4lambda z = 2 + 4lambda
Então, a reta fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta s: x = -1 + t y = 4 - t z = -1 + 3t , que já está em forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro dessa reta.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos que as coordenadas 1 + 2lambda = -1 + t (1) , -1 - 4lambda = 4 - t (2) e 2 + 4lambda = -1 + 3t (3) das duas retas sejam iguais no mesmo ponto. Então, vamos igualar as equações correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar 1 + 2lambda = -1 + t Rightarrow t = 2lambda + 2 e -1 - 4lambda = 4 - (2lambda + 2) Rightarrow -1 - 4lambda = 4 - 2lambda - 2 .
Primeiro, da equação (1):
-1 - 4lambda = 2 - 2lambda Rightarrow -4lambda + 2lambda = 2 + 1 Rightarrow -2lambda = 3 Rightarrow lambda = -32
Agora, substituímos t = 2(-32) + 2 = -3 + 2 = -1 na equação (2):
2 + 4(-32) = -1 + 3(-1)
2 - 6 = -1 -3 Rightarrow -4 = -4
Com , substituímos de volta para encontrar :
Agora, vamos verificar com a equação (3):
Tudo bateu certinho!

Resposta

As retas e se interceptam no ponto .

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