Sejam vetores não colineares (não paralelos), localizados no ponto . Se são os respectivos vetores unitários de e de , mostre que é paralelo à bissetriz do ângulo entre e . O vetor é unitário?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois vetores, e , que não são colineares, ou seja, não estão na mesma linha. A gente quer mostrar que o vetor está na direção da bissetriz do ângulo entre e . Além disso, vamos verificar se é um vetor unitário. Para isso, vamos precisar entender sobre vetores unitários, soma de vetores e bissetriz de ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. É um vetor que tem comprimento (ou norma) igual a 1. No nosso caso, e são os vetores unitários de e , respectivamente. Isso significa que eles têm o mesmo sentido de e , mas com comprimento 1.
Passo 3
Agora, vamos entender a bissetriz do ângulo entre e . A bissetriz é uma linha que divide o ângulo em duas partes iguais. Se desenharmos a bissetriz, ela vai estar exatamente no meio entre as direções de e .
Passo 4
Vamos calcular o vetor . Somando esses dois vetores unitários, estamos basicamente adicionando suas direções. Geometricamente, isso é como se estivéssemos encontrando um vetor que aponta exatamente na direção média entre e , que é justamente a direção da bissetriz do ângulo entre e .
Passo 5
Para confirmar que está na direção da bissetriz, podemos observar que, como e têm o mesmo comprimento (1), a soma deles vai resultar em um vetor que está exatamente no meio das duas direções. Isso garante que é paralelo à bissetriz.
Passo 6
Agora, vamos verificar se é um vetor unitário. Para isso, vamos calcular a norma de :
Como e são unitários e não colineares, podemos usar a fórmula da norma da soma de vetores:
Como , isso simplifica para:
onde é o ângulo entre e .
Passo 7
Para ser unitário, sua norma deve ser 1. Então, precisamos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso acontece apenas se . Como a questão não especifica o valor de além de que e não são colineares, não é necessariamente unitário para qualquer .
Resposta
O vetor está paralelo à bissetriz do ângulo entre e , mas não é unitário, a menos que o ângulo entre e seja de .