Sejam a e b vetores não colineares (não paralelos), localizados no ponto A. Se u1=a|a| e u2=b|b| são os respectivos vetores unitários de a e de b, mostre que v=u1+u2 é paralelo à bissetriz do ângulo entre a e b. O vetor v é unitário?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois vetores, e , que não são colineares, ou seja, não estão na mesma linha. A gente quer mostrar que o vetor está na direção da bissetriz do ângulo entre e . Além disso, vamos verificar se é um vetor unitário. Para isso, vamos precisar entender sobre vetores unitários, soma de vetores e bissetriz de ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. É um vetor que tem comprimento (ou norma) igual a 1. No nosso caso, e são os vetores unitários de e , respectivamente. Isso significa que eles têm o mesmo sentido de e , mas com comprimento 1.

Passo 3

Agora, vamos entender a bissetriz do ângulo entre e . A bissetriz é uma linha que divide o ângulo em duas partes iguais. Se desenharmos a bissetriz, ela vai estar exatamente no meio entre as direções de e .

Passo 4

Vamos calcular o vetor . Somando esses dois vetores unitários, estamos basicamente adicionando suas direções. Geometricamente, isso é como se estivéssemos encontrando um vetor que aponta exatamente na direção média entre e , que é justamente a direção da bissetriz do ângulo entre e .

Passo 5

Para confirmar que está na direção da bissetriz, podemos observar que, como e têm o mesmo comprimento (1), a soma deles vai resultar em um vetor que está exatamente no meio das duas direções. Isso garante que é paralelo à bissetriz.

Passo 6

Agora, vamos verificar se |v| = |u1 + u2| é um vetor unitário. Para isso, vamos calcular a norma de |v| = raiz|u1|^2 + |u2|^2 + 2 cdot u1 cdot u2 :
|v| = raiz1 + 1 + 2 cdot cos(theta) = raiz2 + 2 cos(theta)
Como e são unitários e não colineares, podemos usar a fórmula da norma da soma de vetores:
Como , isso simplifica para:
onde é o ângulo entre e .

Passo 7

Para raiz2 + 2 cos(theta) = 1 ser unitário, sua norma deve ser 1. Então, precisamos que:
2 + 2 cos(theta) = 1 implies 2 cos(theta) = -1 implies cos(theta) = -12
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso acontece apenas se . Como a questão não especifica o valor de além de que e não são colineares, não é necessariamente unitário para qualquer .

Resposta

O vetor está paralelo à bissetriz do ângulo entre e , mas não é unitário, a menos que o ângulo entre e seja de .

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