Dado o triângulo triang<= A B C, sejam M, N P os pontos médios dos lados A B, B C e C A, respectivamente. Ponha a=|B C|, b=|A C| e c=|A B|.
(a) Se ma=|A N|, use o problema 4. para mostrar que ma, o comprimento da mediana A N, é dado por
ma=raiz2 b^2+2 c^2-a^22
Encontre fórmulas análogas para mb e mc;
(b) Mostre que A N+B P+C M=0;
© Mostre que duas medianas quaisquer, por exemplo A N e B P, são concorrentes, verificando que uma igualdade do tipo A N=alpha B P produz uma contradição;
(d) Seja G o ponto de interseção das retas A N e B P e H o ponto de interseção de A N e C M. Mostre que A G=23 A N e B G=23 B P. Conclua que A H=23 A N e C H=23 C M; em particular, G=H e as três medianas se cortam em G. ( G é conhecido como baricentro do triângulo triang<= A B C );
(e) Mostre que G A+G B+G C=0. (Use os itens (b) e (d));
(f) Do item anterior, conclua que se O é um ponto qualquer, então
O G=13(O A+O B+O C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício de geometria. O enunciado nos pede para encontrar uma fórmula para o comprimento da mediana no triângulo , e também fórmulas parecidas para e . Vamos usar conceitos de geometria vetorial e propriedades dos triângulos para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana. Em um triângulo, a mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. No nosso caso, é a mediana que vai de até , que é o ponto médio de .

Passo 3

Para encontrar o comprimento de ma = raiz2b^2 + 2c^2 - a^22 , podemos usar a fórmula da mediana em termos dos lados do triângulo. A fórmula geral para a mediana é:
Essa fórmula vem da aplicação do teorema de Stewart ou do teorema da mediana, que relaciona os lados de um triângulo com o comprimento da mediana.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as fórmulas análogas para mb = raiz2a^2 + 2c^2 - b^22 e mc = raiz2a^2 + 2b^2 - c^22 . Seguindo a mesma lógica, temos:
Essas fórmulas são obtidas substituindo os lados correspondentes na fórmula da mediana.

Resposta

As fórmulas para os comprimentos das medianas são:
ma = raiz2 b^2 + 2 c^2 - a^22, mb = raiz2 a^2 + 2 c^2 - b^22, mc = raiz2 a^2 + 2 b^2 - c^22

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