Dado o triângulo , sejam os pontos médios dos lados e , respectivamente. Ponha e .
(a) Se , use o problema 4. para mostrar que , o comprimento da mediana , é dado por
Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício de geometria. O enunciado nos pede para encontrar uma fórmula para o comprimento da mediana no triângulo , e também fórmulas parecidas para e . Vamos usar conceitos de geometria vetorial e propriedades dos triângulos para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana. Em um triângulo, a mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. No nosso caso, é a mediana que vai de até , que é o ponto médio de .
Passo 3
Para encontrar o comprimento de , podemos usar a fórmula da mediana em termos dos lados do triângulo. A fórmula geral para a mediana é:
Essa fórmula vem da aplicação do teorema de Stewart ou do teorema da mediana, que relaciona os lados de um triângulo com o comprimento da mediana.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as fórmulas análogas para e . Seguindo a mesma lógica, temos:
Essas fórmulas são obtidas substituindo os lados correspondentes na fórmula da mediana.
Resposta
As fórmulas para os comprimentos das medianas são: