Dado o triângulo , sejam os pontos médios dos lados e , respectivamente. Ponha e .
(a) Se , use o problema 4. para mostrar que , o comprimento da mediana , é dado por
Encontre fórmulas análogas para e ;
(b) Mostre que ;
© Mostre que duas medianas quaisquer, por exemplo e , são concorrentes, verificando que uma igualdade do tipo produz uma contradição;
(d) Seja o ponto de interseção das retas e e o ponto de interseção de e . Mostre que e . Conclua que e ; em particular, e as três medianas se cortam em . ( é conhecido como baricentro do triângulo );
(e) Mostre que . (Use os itens (b) e (d));
(f) Do item anterior, conclua que se é um ponto qualquer, então

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício de geometria. O enunciado nos pede para encontrar uma fórmula para o comprimento da mediana no triângulo , e também fórmulas parecidas para e . Vamos usar conceitos de geometria vetorial e propriedades dos triângulos para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mediana. Em um triângulo, a mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. No nosso caso, é a mediana que vai de até , que é o ponto médio de .

Passo 3

Para encontrar o comprimento de , podemos usar a fórmula da mediana em termos dos lados do triângulo. A fórmula geral para a mediana é:
Essa fórmula vem da aplicação do teorema de Stewart ou do teorema da mediana, que relaciona os lados de um triângulo com o comprimento da mediana.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as fórmulas análogas para e . Seguindo a mesma lógica, temos:
Essas fórmulas são obtidas substituindo os lados correspondentes na fórmula da mediana.

Resposta

As fórmulas para os comprimentos das medianas são:

Exercícios relacionados

Dados vetores e , mostre que . Conclua que, em um paralelogramo qualquer, com lados medindo , e diagonais medindo e , vale a igualdade .
(2,0 pts) Seja
(b) Caso afirmativo determine uma base de .
Sejam vetores não colineares (não paralelos), localizados no ponto . Se são os respectivos vetores unitários de e de , mostre que é paralelo à bissetriz do ângulo entre e . O vetor é unitário?
Considere as retas
b) Determine, se existir, o ponto de interseção das retas e .