Uma forma bilinear B: V times V R é dita anti-simétrica se B(u, v)=-B(v, u), forall u, v in V. Seja B: V times V R uma forma bilinear anti-simétrica. Mostre que:
Dada uma forma bilinear G: V times V R, existem uma única forma bilinear simétrica G1: V times V R e uma única forma bilinear anti-simétrica G2: V times V R tais que
G(u, v)=G1(u, v)+G2(u, v), forall u, v in V

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma forma bilinear G(u, v) = G1(u, v) + G2(u, v), forall u, v in V e queremos mostrar que ela pode ser decomposta em uma forma simétrica e uma forma anti-simétrica de maneira única, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são formas bilineares, formas simétricas e anti-simétricas, e como podemos combinar elas para obter a forma original .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear é uma função que é linear em cada um dos seus argumentos. Ou seja, para fixar um dos vetores, se comporta como uma função linear em relação ao outro vetor.
Agora, uma forma simétrica satisfaz para todos , e uma forma anti-simétrica satisfaz .

Passo 3

Vamos construir G1(u, v) = G(u, v) + G(v, u)2 e G2(u, v) = G(u, v) - G(v, u)2 a partir de . A ideia é separar em suas partes simétrica e anti-simétrica.
Definimos:

Passo 4

Vamos verificar que G1(v, u) = G(v, u) + G(u, v)2 = G(u, v) + G(v, u)2 = G1(u, v) é simétrica:
Portanto, é simétrica.

Passo 5

Agora, vamos verificar que G2(v, u) = G(v, u) - G(u, v)2 = -G(u, v) - G(v, u)2 = -G2(u, v) é anti-simétrica:
Assim, é anti-simétrica.

Passo 6

Finalmente, vamos mostrar que G1(u, v) + G2(u, v) = G(u, v) + G(v, u)2 + G(u, v) - G(v, u)2 = 2G(u, v)2 = G(u, v) :

Resposta

Assim, mostramos que qualquer forma bilinear G(u, v) = G1(u, v) + G2(u, v), forall u, v in V pode ser escrita de forma única como a soma de uma forma simétrica e uma forma anti-simétrica :

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