Considere as retas
Elas são paralelas? Elas se intersectam?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos fornece as equações paramétricas de duas retas no espaço tridimensional, e . O que precisamos descobrir é se essas retas são paralelas e se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos analisar os vetores diretores de cada reta e ver se existe um ponto em comum entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes que multiplicam o parâmetro representam os componentes do vetor diretor.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores forem múltiplos iguais um do outro, ou seja, se existir um número tal que:
Vamos comparar os componentes:
Resolvendo a segunda equação, encontramos . Agora, vamos verificar nas outras equações:
ãã
Como não existe um único valor de que satisfaça todas as equações, os vetores diretores não são múltiplos, ou seja, as retas não são paralelas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores dos parâmetros e (vou usar para a reta ) que satisfaçam as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:

Resposta

As retas e não são paralelas e se intersectam no ponto .

Exercícios relacionados

Nos exercícios , encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
Sejam e .
Calcule a distância entre o plano e a origem .
Definimos a distância de um ponto a um plano como sendo a norma do vetor , onde é o único ponto de tal que o vetor é paralelo ao vetor normal ao plano .
Calcule:
d)
Considere a reta de equações paramétricas e os pontos e .
Um dos pontos ou pertence à reta . Qual deles?