Considere as retas
L1:l x=1+2 t y=2-t z=3+3 t ,-infty
Elas são paralelas? Elas se intersectam?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos fornece as equações paramétricas de duas retas no espaço tridimensional, e . O que precisamos descobrir é se essas retas são paralelas e se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos analisar os vetores diretores de cada reta e ver se existe um ponto em comum entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes que multiplicam o parâmetro d1 = (2, -1, 3) representam os componentes do vetor diretor.
Para d2 = (3, 1, -5) :
Para :

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores forem múltiplos iguais um do outro, ou seja, se existir um número d1 = k cdot d2 tal que:
2 = 3k -1 = k 3 = -5k
Vamos comparar os componentes:
2 = 3(-1) Rightarrow 2 = -3 (não confere) 3 = -5(-1) Rightarrow 3 = 5 (não confere)
Resolvendo a segunda equação, encontramos . Agora, vamos verificar nas outras equações:
ãã
Como não existe um único valor de que satisfaça todas as equações, os vetores diretores não são múltiplos, ou seja, as retas não são paralelas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores dos parâmetros 1 + 2t = -7 + 3s 2 - t = 1 + s 3 + 3t = 10 - 5s e 2 - t = 1 + s Rightarrow s = 1 - t (vou usar 1 + 2t = -7 + 3(1 - t) 1 + 2t = -7 + 3 - 3t 1 + 2t = -4 - 3t 2t + 3t = -4 - 1 5t = -5 t = -1 para a reta s = 1 - (-1) = 2 ) que satisfaçam as equações:
3 + 3(-1) = 10 - 5(2) 3 - 3 = 10 - 10 0 = 0 (confere)
Vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:

Resposta

As retas e não são paralelas e se intersectam no ponto .

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