Beleza, vamos lá! A questão nos fornece as equações paramétricas de duas retas no espaço tridimensional, e . O que precisamos descobrir é se essas retas são paralelas e se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos analisar os vetores diretores de cada reta e ver se existe um ponto em comum entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes que multiplicam o parâmetro representam os componentes do vetor diretor.
Para :
Para :
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores forem múltiplos iguais um do outro, ou seja, se existir um número tal que:
Vamos comparar os componentes:
Resolvendo a segunda equação, encontramos . Agora, vamos verificar nas outras equações:
ãã
Como não existe um único valor de que satisfaça todas as equações, os vetores diretores não são múltiplos, ou seja, as retas não são paralelas.
Passo 4
Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores dos parâmetros e (vou usar para a reta ) que satisfaçam as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Resposta
As retas e não são paralelas e se intersectam no ponto .