Nos exercícios , encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação do plano que é tangente à superfície no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função da superfície:
Queremos achar o plano que toca essa superfície exatamente no ponto .

Passo 3

Para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Vamos começar com a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Ou seja, ambas as derivadas são iguais a zero nesse ponto.

Passo 6

Agora, usamos a fórmula do plano tangente:
Onde é o ponto de tangência, que neste caso é .

Passo 7

Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é .

Exercícios relacionados

Sejam e .
Calcule a distância entre o plano e a origem .
Definimos a distância de um ponto a um plano como sendo a norma do vetor , onde é o único ponto de tal que o vetor é paralelo ao vetor normal ao plano .
Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
Considere as retas
Elas são paralelas? Elas se intersectam?
Calcule:
d)