Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto P1=(-1,0,2) pertence às retas.
r:(x, y, z)=(-7,-3,-7)+lambda(2,1,3), lambda in R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é analisar uma reta no espaço tridimensional. O enunciado pede para determinar um ponto que está na reta, o vetor que indica a direção dessa reta e também verificar se o ponto está nessa reta. Para resolver isso, vamos usar a forma paramétrica da reta e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto e o vetor diretor da reta que foi dada. A equação da reta é:
r: (x, y, z) = (-7, -3, -7) + lambda(2, 1, 3), lambda in R
Aqui, o ponto é um ponto que está na reta, e o vetor é o vetor diretor, que indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o ponto x = -7 + 2lambda y = -3 + lambda z = -7 + 3lambda está na reta. Para isso, precisamos encontrar um valor de que satisfaça as três equações paramétricas da reta:
Vamos resolver cada uma dessas equações para e ver se conseguimos um valor consistente.

Passo 4

Vamos começar pela equação de -1 = -7 + 2lambda Rightarrow 2lambda = -1 + 7 Rightarrow 2lambda = 6 Rightarrow lambda = 3 :
0 = -3 + lambda Rightarrow lambda = 3
Agora, vamos verificar se esse valor de 2 = -7 + 3lambda Rightarrow 3lambda = 2 + 7 Rightarrow 3lambda = 9 Rightarrow lambda = 3 também satisfaz as equações de e .
Para :
E para :
Como em todas as três equações , isso significa que o ponto realmente está na reta.

Resposta

O ponto na reta é , o vetor diretor é e o ponto pertence à reta.

Exercícios relacionados