Determine o número real
de modo que a matriz
seja ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz
e precisa descobrir qual valor real de
faz essa matriz ser ortogonal. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes ortogonais e propriedades de matrizes diagonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se a sua transposta
é igual à sua inversa
. Isso significa que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Como a matriz
dada é diagonal, ela fica fácil de trabalhar. Para matrizes diagonais, a condição de ortogonalidade simplifica para que cada elemento da diagonal seja tal que seu quadrado seja igual a 1. Ou seja, para cada elemento
na diagonal de
:
Passo 4
Aplicando isso à nossa matriz
, temos:
- Para o primeiro elemento da diagonal:
✅ - Para o segundo elemento da diagonal:
Passo 5
Resolvendo
, encontramos que:
Ou seja,
pode ser 1 ou -1.
Resposta
Os valores de
que tornam a matriz
ortogonal são
ou
.