Determine o número real de modo que a matriz seja ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e precisa descobrir qual valor real de faz essa matriz ser ortogonal. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes ortogonais e propriedades de matrizes diagonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se a sua transposta é igual à sua inversa . Isso significa que:
onde é a matriz identidade.
Passo 3
Como a matriz dada é diagonal, ela fica fácil de trabalhar. Para matrizes diagonais, a condição de ortogonalidade simplifica para que cada elemento da diagonal seja tal que seu quadrado seja igual a 1. Ou seja, para cada elemento na diagonal de :
Passo 4
Aplicando isso à nossa matriz , temos:
Para o primeiro elemento da diagonal: ✅
Para o segundo elemento da diagonal:
Passo 5
Resolvendo , encontramos que:
Ou seja, pode ser 1 ou -1.
Resposta
Os valores de que tornam a matriz ortogonal são ou .