Determine o número real m de modo que a matriz M=[cc-1 & 0 0 & m] seja ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz M = -1 & 0 0 & m e precisa descobrir qual valor real de m faz essa matriz ser ortogonal. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes ortogonais e propriedades de matrizes diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz M é ortogonal se a sua transposta M^T é igual à sua inversa M^-1. Isso significa que:
M^T cdot M = I
onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Como a matriz M dada é diagonal, ela fica fácil de trabalhar. Para matrizes diagonais, a condição de ortogonalidade simplifica para que cada elemento da diagonal seja tal que seu quadrado seja igual a 1. Ou seja, para cada elemento aii na diagonal de M:
(aii)^2 = 1

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz M, temos:
  • Para o primeiro elemento da diagonal: (-1)^2 = 1
  • Para o segundo elemento da diagonal: m^2 = 1

Passo 5

Resolvendo m^2 = 1, encontramos que:
m = pm 1
Ou seja, m pode ser 1 ou -1.

Resposta

Os valores de m que tornam a matriz M ortogonal são m = 1 ou m = -1.

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