Determine o número real de modo que a matriz seja ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e precisa descobrir qual valor real de faz essa matriz ser ortogonal. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes ortogonais e propriedades de matrizes diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se a sua transposta é igual à sua inversa . Isso significa que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Como a matriz dada é diagonal, ela fica fácil de trabalhar. Para matrizes diagonais, a condição de ortogonalidade simplifica para que cada elemento da diagonal seja tal que seu quadrado seja igual a 1. Ou seja, para cada elemento na diagonal de :

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz , temos:
  • Para o primeiro elemento da diagonal:
  • Para o segundo elemento da diagonal:

Passo 5

Resolvendo , encontramos que:
Ou seja, pode ser 1 ou -1.

Resposta

Os valores de que tornam a matriz ortogonal são ou .

Exercícios relacionados

Dizemos que uma matriz é ortogonal se, e somente se, .
(a) Determine os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) * Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal.
Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto pertence às retas.
;
Considere as retas e . Determine o valor de para que e sejam concorrentes e ache o ponto de interseção.