Considere as retas: e R2:lx=-3 t y=1+6 t z=7+6 t
Calcule a distância dist (R1, R2) entre as duas retas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional, e , com suas equações paramétricas. A nossa tarefa é calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço e operações vetoriais como produto vetorial e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto em cada reta. Para a reta x = 1 + 0 = 1 y = -4 - 2(0) = -4 z = 2 - 2(0) = 2 , quando x = -3(0) = 0 y = 1 + 6(0) = 1 z = 7 + 6(0) = 7 :
Então, temos o ponto .
Para a reta , quando :
Então, temos o ponto .
Passo 3
Agora, vamos extrair os vetores de direção de cada reta. Na equação paramétrica, os coeficientes de u = 1 -2 -2 e v = -3 6 6 nos dão os vetores de direção.
Para :
Para :
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial entre u times v = i & j & k 1 & -2 & -2 -3 & 6 & 6 = i( (-2)(6) - (-2)(6) ) - j( (1)(6) - (-2)(-3) ) + k( (1)(6) - (-2)(-3) ) e = i( -12 + 12 ) - j( 6 - 6 ) + k( 6 - 6 ) = 0 . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores de direção.
Ah, percebeu que o produto vetorial deu o vetor nulo? Isso significa que os vetores de direção são paralelos.
Passo 5
Quando as retas são paralelas, a fórmula para a distância entre elas muda um pouco. Vamos usar a seguinte fórmula para a distância entre duas retas paralelas:
d = |P2P1 times u||u|
Onde é o vetor que vai de para , e é o vetor de direção comum das retas.