Considere as retas: R1:lx=1+s, y=-4-2 s z=2-2 s e R2:lx=-3 t y=1+6 t z=7+6 t
Calcule a distância dist (R1, R2) entre as duas retas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional, e , com suas equações paramétricas. A nossa tarefa é calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço e operações vetoriais como produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto em cada reta. Para a reta x = 1 + 0 = 1 y = -4 - 2(0) = -4 z = 2 - 2(0) = 2 , quando x = -3(0) = 0 y = 1 + 6(0) = 1 z = 7 + 6(0) = 7 :
Então, temos o ponto .
Para a reta , quando :
Então, temos o ponto .

Passo 3

Agora, vamos extrair os vetores de direção de cada reta. Na equação paramétrica, os coeficientes de u = 1 -2 -2 e v = -3 6 6 nos dão os vetores de direção.
Para :
Para :

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial entre u times v = i & j & k 1 & -2 & -2 -3 & 6 & 6 = i( (-2)(6) - (-2)(6) ) - j( (1)(6) - (-2)(-3) ) + k( (1)(6) - (-2)(-3) ) e = i( -12 + 12 ) - j( 6 - 6 ) + k( 6 - 6 ) = 0 . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores de direção.
Ah, percebeu que o produto vetorial deu o vetor nulo? Isso significa que os vetores de direção são paralelos.

Passo 5

Quando as retas são paralelas, a fórmula para a distância entre elas muda um pouco. Vamos usar a seguinte fórmula para a distância entre duas retas paralelas:
d = |P2P1 times u||u|
Onde é o vetor que vai de para , e é o vetor de direção comum das retas.

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar o vetor P2P1 = P1 - P2 = 1 - 0 -4 - 1 2 - 7 = 1 -5 -5 :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre P2P1 times u = i & j & k 1 & -5 & -5 1 & -2 & -2 = i( (-5)(-2) - (-5)(-2) ) - j( (1)(-2) - (-5)(1) ) + k( (1)(-2) - (-5)(1) ) e = i( 10 - 10 ) - j( -2 + 5 ) + k( -2 + 5 ) = 0 i - j(3) + k(3) = 0 -3 3 :

Passo 8

Vamos agora calcular o módulo (comprimento) desse vetor:
|P2P1 times u| = raiz0^2 + (-3)^2 + 3^2 = raiz0 + 9 + 9 = raiz18 = 3raiz2
E o módulo do vetor |u| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :

Passo 9

Aplicando a fórmula da distância:
d = 3raiz23 = raiz2

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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Seja S=X in M3 times 1 mid A X=0 o espaço solução do sistema lx+y+a z=0 x+a y+z=0 a x+y+z=0. Determine os valores de a para os quais S seja:
(b) uma reta que passa pela origem;
Expresse a matriz A=[ll1 & 2 3 & 4] como o produto de matrizes elementares.
Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
g. (lll1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 5 & 5 & 1)
Sejam a respectivamente as coordenadas dos pontos A e B sobre o eixo E. Determine as coordenadas dos pontos X1, cdots, Xn-1 que dividem o segmento A B em n partes iguais.