Seja o espaço solução do sistema . Determine os valores de a para os quais S seja:
(b) uma reta que passa pela origem;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com três variáveis:
x + y + a z = 0 x + a y + z = 0 a x + y + z = 0
Queremos encontrar os valores de para os quais o conjunto solução desse sistema é uma reta que passa pela origem. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e espaço solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
A = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1
O conjunto solução é dado por . Queremos que seja uma reta, ou seja, um espaço vetorial de dimensão 1.
Passo 3
Para determinar a dimensão do espaço solução, precisamos encontrar o posto (rank) da matriz dim(S) = 3 - rank(A) . A dimensão do espaço solução é igual ao número de variáveis menos o posto da matriz:
1 = 3 - rank(A) implies rank(A) = 2
Queremos que , então:
Então, precisamos encontrar os valores de que fazem com que a matriz tenha posto 2.
Passo 4
Para que uma matriz 3x3 tenha posto 2, seu determinante deve ser zero (indicando que ela não é de posto 3), mas pelo menos um de seus menores determinantes 2x2 deve ser diferente de zero.
Calculamos o determinante de det(A) = 1 & 1 & a 1 & a & 1 a & 1 & 1 :
det(A) = 1 cdot (a cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - a cdot 1) + a cdot (1 cdot 1 - a cdot a)
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, podemos calcular:
= 1 cdot (a - 1) - 1 cdot (1 - a) + a cdot (1 - a^2)
= a - 1 - 1 + a + a - a^3
= 3a - 2 - a^3
-a^3 + 3a - 2 = 0 implies a^3 - 3a + 2 = 0
Queremos que :
Passo 5
Agora, resolvemos a equação cúbica:
a^3 - 3a + 2 = 0
Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para 1 - 3(1) + 2 = 0 Então, a = 1 é raiz são os divisores de 2, ou seja, a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2) .
Testando a = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32 :
ãé
Agora, fatoramos:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as soluções são e .
Passo 6
Com A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 e A = 1 & 1 & -2 1 & -2 & 1 -2 & 1 & 1 , o determinante de 1 & 1 1 & -2 = (1)(-2) - (1)(1) = -3 neq 0 é zero, indicando que o posto de é menor que 3. Precisamos verificar se o posto é exatamente 2 para que .
Vamos verificar para :
Matriz :
Claramente, as linhas são iguais, então o posto é 1, e . Portanto, não satisfaz a condição.
Agora, para :
Matriz :
Calculamos os menores 2x2:
Como um dos menores é diferente de zero, o posto de é 2, e .
Resposta
O valor de que faz com que seja uma reta que passa pela origem é .