Expresse a matriz
como o produto de matrizes elementares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para expressar a matriz
como um produto de matrizes elementares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes elementares e como elas podem ser usadas para construir outras matrizes através de operações de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz elementar. Matrizes elementares são obtidas aplicando uma única operação de linha na matriz identidade. Existem três tipos de operações elementares:
- Troca de linhas: trocar duas linhas da matriz.
- Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
- Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Cada uma dessas operações pode ser representada por uma matriz elementar correspondente.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma sequência de matrizes elementares que, quando multiplicadas, resultem na matriz
. Para isso, vamos imaginar que começamos com a matriz identidade
e aplicamos operações de linha para chegar em
.
Passo 4
Primeiro, vamos transformar a linha 1 da identidade na primeira linha de
. Como a primeira linha de
já é
, precisamos adicionar 2 vezes a segunda linha da identidade à primeira linha. A operação é:
A matriz elementar correspondente a essa operação é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa matriz elementar à identidade para obter uma nova matriz intermediária:
Passo 6
Em seguida, precisamos transformar a segunda linha dessa matriz intermediária na segunda linha de
, que é
. Para isso, vamos substituir a segunda linha atual
por
vezes a primeira linha mais ela mesma:
A matriz elementar correspondente a essa operação é:
Passo 7
Aplicando a segunda matriz elementar na matriz intermediária:
Percebemos que ainda não chegamos em
. Precisamos fazer mais uma operação para ajustar o elemento (2,2).
Passo 8
Vamos ajustar o elemento (2,2) de
para
. Para isso, subtraímos 3 vezes a segunda linha atual da segunda linha:
A matriz elementar correspondente é:
Passo 9
Aplicando a terceira matriz elementar:
Resposta
A matriz
pode ser expressa como o produto de três matrizes elementares:
onde