Expresse a matriz A=[ll1 & 2 3 & 4] como o produto de matrizes elementares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para expressar a matriz 1 & 2 3 & 4 como um produto de matrizes elementares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes elementares e como elas podem ser usadas para construir outras matrizes através de operações de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz elementar. Matrizes elementares são obtidas aplicando uma única operação de linha na matriz identidade. Existem três tipos de operações elementares:
  1. Troca de linhas: trocar duas linhas da matriz.
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Cada uma dessas operações pode ser representada por uma matriz elementar correspondente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma sequência de matrizes elementares que, quando multiplicadas, resultem na matriz 1 & 0 0 & 1 . Para isso, vamos imaginar que começamos com a matriz identidade e aplicamos operações de linha para chegar em .

Passo 4

Primeiro, vamos transformar a linha 1 da identidade na primeira linha de R1' = R1 + 2R2 . Como a primeira linha de E1 = 1 & 2 0 & 1 já é , precisamos adicionar 2 vezes a segunda linha da identidade à primeira linha. A operação é:
A matriz elementar correspondente a essa operação é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa matriz elementar à identidade para obter uma nova matriz intermediária:
E1 cdot I = 1 & 2 0 & 1 cdot 1 & 0 0 & 1 = 1 & 2 0 & 1

Passo 6

Em seguida, precisamos transformar a segunda linha dessa matriz intermediária na segunda linha de R2' = 3R1 + R2 , que é E2 = 1 & 0 3 & 1 . Para isso, vamos substituir a segunda linha atual por vezes a primeira linha mais ela mesma:
A matriz elementar correspondente a essa operação é:

Passo 7

Aplicando a segunda matriz elementar na matriz intermediária:
E2 cdot E1 cdot I = 1 & 0 3 & 1 cdot 1 & 2 0 & 1 = 1 & 2 3 & 7
Percebemos que ainda não chegamos em . Precisamos fazer mais uma operação para ajustar o elemento (2,2).

Passo 8

Vamos ajustar o elemento (2,2) de R2' = R2 - 3R2 para E3 = 1 & 0 0 & -2 . Para isso, subtraímos 3 vezes a segunda linha atual da segunda linha:
A matriz elementar correspondente é:

Passo 9

Aplicando a terceira matriz elementar:
E3 cdot E2 cdot E1 cdot I = 1 & 0 0 & -2 cdot 1 & 0 3 & 1 cdot 1 & 2 0 & 1 = 1 & 2 3 & 4 = A

Resposta

A matriz A = E3 cdot E2 cdot E1 pode ser expressa como o produto de três matrizes elementares:
E1 = 1 & 2 0 & 1 , E2 = 1 & 0 3 & 1 , E3 = 1 & 0 0 & -2
onde

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