Considere as retas r: { x = 2 + 2t, y = t, z = -1 + t, t em R } e s: x = y + 1 = z - 2.
(a) Verifique que as retas r e s são reversas.
(b) Prove que existem um plano alpha que contém r e um plano beta que contém s tais que alpha e beta são paralelos, exibindo as equações destes planos. Verifique que r ⊆ α e s ⊆ β.
© Use o item anterior para determinar a distância entre as retas r e s.

Passo 1

Vamos analisar o item (a). O enunciado pede para verificar que as retas e são reversas. Para isso, usaremos conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar os vetores diretores das retas e verificar se elas são paralelas ou se intersectam.

Passo 2

Primeiro, identificamos as equações paramétricas da reta :
O vetor diretor de é .
Para a reta , temos a equação . Podemos parametrizar da seguinte forma:
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores diretores e são colineares. Para que isso ocorra, deve existir um escalar tal que .
Comparando os componentes:
Como , os vetores não são múltiplos escalares. Portanto, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se as retas e se intersectam. Precisamos encontrar valores de e que satisfaçam:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Isso é uma contradição, o que significa que não existe e que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Portanto, as retas e não se intersectam.

Resposta

(a) As retas e são reversas.

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