Considere as retas e .
(a) Verifique que as retas e são reversas.
(b) Prove que existem um plano que contém e um plano que contém tais que e são paralelos, exibindo as equações destes planos. Verifique que e .
© Use o item anterior para determinar a distância entre as retas e .

Passo 1

Vamos analisar o item (a). O enunciado pede para verificar que as retas e são reversas. Para isso, usaremos conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar os vetores diretores das retas e verificar se elas são paralelas ou se intersectam.

Passo 2

Primeiro, identificamos as equações paramétricas da reta :
O vetor diretor de é .
Para a reta , temos a equação . Podemos parametrizar da seguinte forma:
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores diretores e são colineares. Para que isso ocorra, deve existir um escalar tal que .
Comparando os componentes:
Como , os vetores não são múltiplos escalares. Portanto, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se as retas e se intersectam. Precisamos encontrar valores de e que satisfaçam:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Isso é uma contradição, o que significa que não existe e que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Portanto, as retas e não se intersectam.

Resposta

(a) As retas e são reversas.

Exercícios relacionados

Verifique se os pontos e são coplanares.
(a) Mostre que a distância entre um ponto e uma reta passando por paralela a é
(b) Encontre a distância do ponto à reta
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
(a) passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor
(b) possui o ponto e é paralelo aos vetores e
© passa pelos pontos e
(d) passa pelo ponto e contém os vetores e
(e) possui o ponto e é paralelo ao plano
(f) contém as retas e
(g) contém as retas e
(h) contém a reta e é paralelo à reta .
Descreva o conjunto dado com uma única equação ou com um par de equações
(a) O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
(b) O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
© O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
(d) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(e) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(f) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(g) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(h) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(i) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto perpendicular ao eixo encontra o esfera de raio 5 centrada na origem.