(a) Mostre que a distância entre um ponto e uma reta passando por paralela a é
(b) Encontre a distância do ponto à reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial! A parte (a) pede para mostrar uma fórmula que calcula a distância entre um ponto e uma reta que passa por um ponto e é paralela ao vetor . Vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e magnitude para chegar nessa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o ponto e a reta que passa por com direção . Para encontrar a distância entre e a reta, precisamos pensar no vetor que vai de até , que chamamos de .
Passo 3
O próximo passo é entender que a distância entre e a reta será o comprimento da projeção do vetor que é perpendicular à reta. Para isso, usamos o produto vetorial entre e .
Passo 4
O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos e . A magnitude desse produto vetorial representa a área do paralelogramo formado por esses vetores.
Passo 5
Para isolar a distância, dividimos essa área pela magnitude do vetor direção . Assim, a fórmula final fica:
Isso mostra que a distância é igual à magnitude do produto vetorial dividido pela magnitude do vetor direção.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos encontrar a distância do ponto à reta dada pelas equações paramétricas:
Aqui, vamos aplicar a fórmula que demonstramos na parte (a).
Passo 7
Primeiro, identificamos o ponto na reta quando . Assim, . O vetor direção da reta é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas, ou seja, .