(a) Mostre que a distância entre um ponto e uma reta passando por paralela a é
(b) Encontre a distância do ponto à reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial! A parte (a) pede para mostrar uma fórmula que calcula a distância entre um ponto e uma reta que passa por um ponto e é paralela ao vetor . Vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e magnitude para chegar nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o ponto e a reta que passa por com direção . Para encontrar a distância entre e a reta, precisamos pensar no vetor que vai de até , que chamamos de .

Passo 3

O próximo passo é entender que a distância entre e a reta será o comprimento da projeção do vetor que é perpendicular à reta. Para isso, usamos o produto vetorial entre e .

Passo 4

O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos e . A magnitude desse produto vetorial representa a área do paralelogramo formado por esses vetores.

Passo 5

Para isolar a distância, dividimos essa área pela magnitude do vetor direção . Assim, a fórmula final fica:
Isso mostra que a distância é igual à magnitude do produto vetorial dividido pela magnitude do vetor direção.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos encontrar a distância do ponto à reta dada pelas equações paramétricas:
Aqui, vamos aplicar a fórmula que demonstramos na parte (a).

Passo 7

Primeiro, identificamos o ponto na reta quando . Assim, . O vetor direção da reta é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas, ou seja, .

Passo 8

Calculamos o vetor , que vai de até :

Passo 9

Agora, fazemos o produto vetorial :

Passo 10

Calculamos a magnitude desse produto vetorial:

Passo 11

Também calculamos a magnitude do vetor direção :

Passo 12

Aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

A distância do ponto à reta é unidades.

Exercícios relacionados

Sejam e vetores não nulos. Explicitar o valor de na igualdade .
Defina os seguintes conceitos:
4. Defina gráfico de funções de várias variáveis.
Verifique se os pontos e são coplanares.
Considere as retas e .
(a) Verifique que as retas e são reversas.
(b) Prove que existem um plano que contém e um plano que contém tais que e são paralelos, exibindo as equações destes planos. Verifique que e .
© Use o item anterior para determinar a distância entre as retas e .