Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
(a) passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor
(b) possui o ponto e é paralelo aos vetores e
© passa pelos pontos e
(d) passa pelo ponto e contém os vetores e
(e) possui o ponto e é paralelo ao plano
(f) contém as retas e
(g) contém as retas e
(h) contém a reta e é paralelo à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar um ponto e um vetor normal para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita usando um ponto conhecido no plano e um vetor normal a ele. A forma geral da equação é:
Onde:
  • é o ponto pelo qual o plano passa.
  • é o vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto é o ponto pelo qual o plano passa, então , e .
O vetor é ortogonal ao plano, ou seja, ele é o vetor normal .

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula da equação do plano:
Vamos simplificar os sinais:

Passo 5

Distribuímos os coeficientes:
Agora, somamos os termos constantes:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Considere as retas e .
(a) Verifique que as retas e são reversas.
(b) Prove que existem um plano que contém e um plano que contém tais que e são paralelos, exibindo as equações destes planos. Verifique que e .
© Use o item anterior para determinar a distância entre as retas e .
Verifique se os pontos e são coplanares.
Descreva o conjunto dado com uma única equação ou com um par de equações
(a) O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
(b) O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
© O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
(d) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(e) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(f) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(g) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(h) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(i) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto perpendicular ao eixo encontra o esfera de raio 5 centrada na origem.
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.