Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
(a) passa pelo ponto
e é ortogonal ao vetor
(b) possui o ponto
e é paralelo aos vetores
e
© passa pelos pontos
e
(d) passa pelo ponto
e contém os vetores
e
(e) possui o ponto
e é paralelo ao plano
(f) contém as retas
e
(g) contém as retas
e
(h) contém a reta
e é paralelo à reta
.
(a) passa pelo ponto
(b) possui o ponto
© passa pelos pontos
(d) passa pelo ponto
(e) possui o ponto
(f) contém as retas
(g) contém as retas
(h) contém a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano que passa pelo ponto
e é ortogonal ao vetor
. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar um ponto e um vetor normal para encontrar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita usando um ponto conhecido no plano e um vetor normal a ele. A forma geral da equação é:
Onde:
-
é o ponto pelo qual o plano passa. -
é o vetor normal ao plano.
Passo 3
No nosso caso, o ponto
é o ponto pelo qual o plano passa, então
,
e
.
O vetor
é ortogonal ao plano, ou seja, ele é o vetor normal
.
Passo 4
Agora, substituímos os valores na fórmula da equação do plano:
Vamos simplificar os sinais:
Passo 5
Distribuímos os coeficientes:
Agora, somamos os termos constantes:
Resposta
A equação geral do plano é:
Exercícios relacionados
Considere as retas
e
.
(a) Verifique que as retas e
são reversas.
(b) Prove que existem um plano que contém
e um plano
que contém
tais que
e
são paralelos, exibindo as equações destes planos. Verifique que
e
.
© Use o item anterior para determinar a distância entre as retas e
.
(a) Verifique que as retas
(b) Prove que existem um plano
© Use o item anterior para determinar a distância entre as retas
Verifique se os pontos
e
são coplanares.
Descreva o conjunto dado com uma única equação ou com um par de equações
(a) O plano contendo o ponto paralelo ao plano
.
(b) O plano contendo o ponto paralelo ao plano
.
© O plano contendo o ponto paralelo ao plano
.
(d) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(e) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(f) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(g) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo
.
(h) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo
.
(i) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo
.
(j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto perpendicular ao eixo
encontra o esfera de raio 5 centrada na origem.
(a) O plano contendo o ponto
(b) O plano contendo o ponto
© O plano contendo o ponto
(d) O círculo de raio 2 centrado em
(e) O círculo de raio 2 centrado em
(f) O círculo de raio 2 centrado em
(g) A reta que passa pelo ponto
(h) A reta que passa pelo ponto
(i) A reta que passa pelo ponto
(j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.