Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
(a) passa pelo ponto D = (1, -1, 2) e é ortogonal ao vetor v = (2, -3, 1)
(b) possui o ponto A = (1, 2, 1) e é paralelo aos vetores u = i + j - k e v = i + j - 2k
© passa pelos pontos A=(2,1,5) B=(3,1,3) e C = (4, 2, 3)
(d) passa pelo ponto E=(1, 2, 2) e contém os vetores u = (2, -1, 1) e v = (-3, 1, 2)
(e) possui o ponto P = (2, 1, 3) e é paralelo ao plano x z
(f) contém as retas r: (x-7)/3 = (y-2)/2 = (1-z)/2 e s: (x-1)/2 = -(y+2)/3 = (z-5)/4
(g) contém as retas r: x/2 = y + 1 = z + 3 e s: (x+1)/4 = (y-2)/2 = z/2
(h) contém a reta r: (x-1)/2 = y/2 = z-1 e é paralelo à reta s: (x-3)/2 = 2 - y = (z-4)/4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar um ponto e um vetor normal para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita usando um ponto conhecido no plano e um vetor normal a ele. A forma geral da equação é:
Onde:
  • é o ponto pelo qual o plano passa.
  • é o vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto é o ponto pelo qual o plano passa, então , e .
O vetor é ortogonal ao plano, ou seja, ele é o vetor normal .

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula da equação do plano:
Vamos simplificar os sinais:

Passo 5

Distribuímos os coeficientes:
Agora, somamos os termos constantes:

Resposta

A equação geral do plano é:

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