Considere as retas e . Determine as equações da reta perpendicular a e . Calcule a distância entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço tridimensional, e , e precisamos encontrar uma reta que seja perpendicular a ambas. Além disso, vamos calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta está na forma paramétrica: . Isso significa que o vetor diretor de é .
Já a reta está na forma simétrica: . Podemos reescrever essa forma para identificar o vetor diretor .
Passo 3
Agora, para encontrar uma reta que seja perpendicular a ambas as retas e , precisamos que o vetor diretor dessa nova reta seja perpendicular aos vetores diretores e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Então, o vetor diretor da reta perpendicular é .
Passo 4
Agora, precisamos de um ponto que esteja na reta perpendicular. Podemos escolher qualquer ponto em P = (1, 0, 0) ou r: r = P + s cdot d = (1, 0, 0) + s(6, 3, -4) e usar a condição de perpendicularidade. Vamos escolher o ponto de r: (x, y, z) = (1 + 6s, 0 + 3s, 0 - 4s), s in R quando :
Então, a equação paramétrica da reta perpendicular fica:
Portanto, a equação da reta perpendicular é:
Passo 5
Para calcular a distância entre as retas D = |d1 times d2 cdot P2 - P1||d1 times d2| e d1 times d2 cdot (P2 - P1) = 6 cdot 1 + 3 cdot 3 + (-4) cdot 4 = 6 + 9 - 16 = -1 , usamos a fórmula da distância entre duas retas no espaço:
Onde |d1 times d2| = raiz6^2 + 3^2 + (-4)^2 = raiz36 + 9 + 16 = raiz61 e D = 1raiz61 são vetores que vão de um ponto de a um ponto de . Vamos escolher de e de .
Primeiro, calculamos .
Já temos . Agora, calculamos o produto escalar:
O valor absoluto é .
Agora, calculamos o módulo de :
Então, a distância entre as retas é:
Resposta
A reta perpendicular a e é dada por para todo . A distância entre as retas e é .