Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que passa pelos pontos
e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos encontrar diferentes formas de representar a reta que passa pelos pontos
e
no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos como vetores direcionais e equações paramétricas, que são fundamentais em geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a direção da reta. Isso é feito calculando o vetor que liga os pontos
e
. Esse vetor, chamado de vetor diretor, indica para onde a reta está apontando.
Calculando o vetor diretor
:
Podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por -4:
Passo 3
Com o vetor diretor em mãos, podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial relaciona um ponto da reta com o vetor diretor e um parâmetro
que varia ao longo da reta.
A equação vetorial é dada por:
Onde
é um ponto na reta (podemos usar o ponto
) e
é um número real.
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos transformar a equação vetorial em equações paramétricas. As equações paramétricas expressam as coordenadas
,
e
da reta em função do parâmetro
.
A partir da equação vetorial:
Portanto, as equações paramétricas são:
Passo 5
Em seguida, vamos escrever as equações simétricas da reta. Essas equações eliminam o parâmetro
e relacionam diretamente as coordenadas
,
e
.
A partir das equações paramétricas:
Passo 6
Por fim, vamos tentar obter a equação reduzida da reta. No espaço tridimensional, as equações reduzidas são menos comuns, mas podem ser úteis para relacionar duas das coordenadas.
Vamos expressar
em função de
:
De
, temos
.
Substituindo em
:
Então, a equação reduzida é:
Resposta
As equações da reta que passa pelos pontos
e
são:
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
Equações simétricas:
Equação reduzida: