Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(-3,-2,-1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos encontrar diferentes formas de representar a reta que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(-3,-2,-1) no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos como vetores direcionais e equações paramétricas, que são fundamentais em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a direção da reta. Isso é feito calculando o vetor que liga os pontos A e B. Esse vetor, chamado de vetor diretor, indica para onde a reta está apontando.
Calculando o vetor diretor v:
v = B - A = (-3-1, -2-2, -1-3) = (-4, -4, -4)
Podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por -4:
v = (1, 1, 1)

Passo 3

Com o vetor diretor em mãos, podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial relaciona um ponto da reta com o vetor diretor e um parâmetro t que varia ao longo da reta.
A equação vetorial é dada por:
r = a + tv
Onde a é um ponto na reta (podemos usar o ponto A) e t é um número real.
Substituindo os valores:
r = (1,2,3) + t(1,1,1)

Passo 4

Agora, vamos transformar a equação vetorial em equações paramétricas. As equações paramétricas expressam as coordenadas x, y e z da reta em função do parâmetro t.
A partir da equação vetorial:
r = (1 + t, 2 + t, 3 + t)
Portanto, as equações paramétricas são:
x = 1 + t
y = 2 + t
z = 3 + t

Passo 5

Em seguida, vamos escrever as equações simétricas da reta. Essas equações eliminam o parâmetro t e relacionam diretamente as coordenadas x, y e z.
A partir das equações paramétricas:
x -11 = y -21 = z -31

Passo 6

Por fim, vamos tentar obter a equação reduzida da reta. No espaço tridimensional, as equações reduzidas são menos comuns, mas podem ser úteis para relacionar duas das coordenadas.
Vamos expressar z em função de x:
De x = 1 + t, temos t = x - 1.
Substituindo em z = 3 + t:
z = 3 + (x - 1) = x + 2
Então, a equação reduzida é:
z = x + 2

Resposta

As equações da reta que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(-3,-2,-1) são:
Equação vetorial:
r = (1,2,3) + t(1,1,1)
Equações paramétricas:
x = 1 + t
y = 2 + t
z = 3 + t
Equações simétricas:
x -11 = y -21 = z -31
Equação reduzida:
z = x + 2

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