Determine o ângulo entre o plano
e o plano que passa por
e é perpendicular ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo entre dois planos no espaço tridimensional. Estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com a relação entre planos e seus vetores normais. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal do primeiro plano, que é dado pela equação
. Um plano na forma
tem como vetor normal
. Então, para o nosso plano:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal do segundo plano. A questão diz que o plano passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Isso significa que o vetor normal do segundo plano é
.
Passo 4
Com os dois vetores normais
e
identificados, podemos usar a fórmula do ângulo
entre dois vetores:
Onde
é o produto escalar e
e
são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 7
Substituindo na fórmula do cosseno:
Passo 8
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre os dois planos é
.