Determine o ângulo entre o plano x-y+z=0 e o plano que passa por P0=(2,4,6) e é perpendicular ao vetor i-2 j+k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo entre dois planos no espaço tridimensional. Estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com a relação entre planos e seus vetores normais. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do primeiro plano, que é dado pela equação n1 = (1, -1, 1) . Um plano na forma tem como vetor normal . Então, para o nosso plano:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal do segundo plano. A questão diz que o plano passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Isso significa que o vetor normal do segundo plano é .

Passo 4

Com os dois vetores normais cos theta = n1 cdot n2|n1| |n2| e identificados, podemos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores:
Onde é o produto escalar e e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4 :

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
|n2| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 7

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos theta = 4raiz3 cdot raiz6 = 4raiz18 = 43raiz2 = 4raiz26 = 2raiz23

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta = cos^-1( 2raiz23 ) , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os dois planos é .

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