Utilize a matriz PC^B para encontrar a matriz da transformaçâo T na nova base B utilizando a fórmula
[T]B=(PC^B)^-1 A PC^B

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a matriz da transformação na nova base . Para isso, vamos usar a matriz de mudança de base . O conteúdo aqui envolve transformações lineares e mudança de base. O que a gente vai precisar é:
  • A matriz de mudança de base .
  • A matriz da transformação na base original , que vamos chamar de .
  • Saber como inverter uma matriz e como fazer multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a matriz de mudança de base . Essa matriz nos ajuda a converter coordenadas de uma base para uma base . Para usar na fórmula, precisamos encontrar o inverso dessa matriz, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o inverso da matriz . Inverter uma matriz significa encontrar uma outra matriz que, quando multiplicada pela original, resulta na matriz identidade. Isso é importante porque a inversa “desfaz” a transformação feita por .

Passo 4

Agora que temos , vamos multiplicar essa inversa pela matriz da transformação na base . Ou seja, calculamos . Essa multiplicação começa a ajustar a transformação para a nova base.

Passo 5

Por fim, multiplicamos o resultado do passo anterior pela própria matriz de mudança de base [T]B = ( PC^B )^-1 A PC^B . Assim, a expressão completa fica:

Resposta

A matriz da transformação [T]B = ( PC^B )^-1 A PC^B na nova base é:

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