Considere o seguinte sistema linear nas variáveis x, y e z.
rlrl x+2 y+ & z & 1 x+3 y+ & z & 1 3 x+7 y+(a^2-1) z & =a+1
(a) Encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Para o caso em que o sistema possui infinitas soluções, encontre a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com as variáveis e . A gente vai usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares. Para descobrir quando o sistema tem solução única, infinita ou nenhuma, precisamos analisar o determinante e ver como as equações se relacionam. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e fazer operações para chegar à forma escalonada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x + 2y + z = 1 x + 3y + z = 1 3x + 7y + (a^2 - 1)z = a + 1
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
1 & 2 & 1 & | & 1 1 & 3 & 1 & | & 1 3 & 7 & a^2 - 1 & | & a + 1

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar as incógnitas para simplificar a matriz. Subtraímos a primeira linha da segunda para eliminar Linha 2 = Linha 2 - Linha 1 1 & 2 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & 0 3 & 7 & a^2 - 1 & | & a + 1 :
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1 1 & 2 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & a^2 - 4 & | & a - 2
Depois, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira para também eliminar :

Passo 4

Agora, vamos eliminar Linha 3 = Linha 3 - Linha 2 1 & 2 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & a^2 - 4 & | & a - 2 da terceira linha. Subtraímos a segunda linha da terceira:

Passo 5

Agora, vamos analisar a última equação da matriz:
(a^2 - 4)z = a - 2
Aqui, temos duas situações:
  1. Se , ou seja, , então podemos resolver para de forma única.
  2. Se , ou seja, , teremos que ver o que acontece na equação.

Passo 6

Vamos considerar cada caso:
Caso 1: z = a - 2a^2 - 4
Nesse caso, y = 0 , então podemos resolver para x + 2y + z = 1 Rightarrow x = 1 - z = 1 - a - 2a^2 - 4 :
(2^2 - 4)z = 2 - 2 Rightarrow 0 times z = 0
Com ((-2)^2 - 4)z = -2 - 2 Rightarrow 0 times z = -4 conhecido, podemos voltar para a segunda linha:
E para a primeira linha:
Então temos uma solução única para .
Caso 2:
Substituindo na última equação:
Isso significa que a terceira equação é redundante e não nos dá informação adicional. Nesse caso, temos infinitas soluções que dependem de .
Caso 3:
Substituindo na última equação:
Isso é uma contradição, pois nunca será igual a . Portanto, nesse caso, o sistema não tem solução.

Resposta

(a)
  • O sistema tem solução única para todo x = 14 y = 0 z é livre tal que .
  • O sistema tem infinitas soluções quando .
  • O sistema não tem solução quando .
(b) Para , a solução geral do sistema é:
é
Ou seja, pode ser qualquer número real, e , .

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