Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
A reta que passa pelo ponto e tem como vetor diretor .
A reta definida pelas equações:
O objetivo é encontrar um ponto na reta de forma que o triângulo tenha área igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço, vetores e cálculo de área de triângulos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta para facilitar a identificação dos pontos sobre ela. Sabemos que para qualquer ponto na reta . Além disso, a equação relaciona e .
Podemos expressar em função de :
Então, podemos definir o vetor posição de um ponto qualquer na reta como:
Aqui, é um parâmetro que pode variar para obter diferentes pontos na reta .
Passo 3
Agora, precisamos determinar as coordenadas do ponto na reta . Como a reta passa pelo ponto e tem vetor diretor , a equação paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro. Como precisamos apenas de um ponto na reta , podemos escolher um valor para , por exemplo, , o que nos dá:
No entanto, isso nos dá , ou seja, o mesmo ponto. Para formar um triângulo, deve ser um ponto diferente de . Vamos escolher outro valor para , por exemplo, :
Passo 4
Com os pontos Área = 12 | AB times AC | , AB = B - A = (2 - 1, 2 - 2, 4 - 5) = (1, 0, -1) e AC = C - A = ( x - 1, 7 - x2 - 2, 3 - 5 ) = ( x - 1, 3 - x2, -2 ) definidos, podemos calcular a área do triângulo AB times AC = i & j & k 1 & 0 & -1 x - 1 & 3 - x2 & -2 = i (0 cdot (-2) - (-1) cdot 3 - x2) - j (1 cdot (-2) - (-1) cdot (x - 1)) + k (1 cdot 3 - x2 - 0 cdot (x - 1)) usando a fórmula da área de um triângulo no espaço, que envolve o produto vetorial dos vetores AB times AC = i (3 - x2) - j (-2 + x - 1) + k (3 - x2) e = ( 3 - x2, - (x - 3), 3 - x2 ) :
| AB times AC | = raiz ( 3 - x2 )^2 + (x - 3)^2 + ( 3 - x2 )^2 Á