Sejam r uma reta que passa pelo ponto A=(1,2,5) e tem vetor diretor r=(1,0,-1), s uma reta dada por s:lx+2 y-7=0 z-3=0
© Encontre um ponto C na reta s tal que o triângulo A B C tenha área igual a raiz6

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  • A reta s: x + 2y - 7 = 0 z - 3 = 0 que passa pelo ponto e tem como vetor diretor .
  • A reta definida pelas equações:
O objetivo é encontrar um ponto na reta de forma que o triângulo tenha área igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço, vetores e cálculo de área de triângulos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x + 2y - 7 = 0 implies y = 7 - x2 para facilitar a identificação dos pontos sobre ela. Sabemos que C = ( x, 7 - x2, 3 ) para qualquer ponto na reta . Além disso, a equação relaciona e .
Podemos expressar em função de :
Então, podemos definir o vetor posição de um ponto qualquer na reta como:
Aqui, é um parâmetro que pode variar para obter diferentes pontos na reta .

Passo 3

Agora, precisamos determinar as coordenadas do ponto r: x = 1 + t y = 2 + 0 cdot t = 2 z = 5 - t na reta B = (1, 2, 5) . Como a reta B = (1 + 1, 2 + 0, 5 - 1) = (2, 2, 4) passa pelo ponto e tem vetor diretor , a equação paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro. Como precisamos apenas de um ponto na reta , podemos escolher um valor para , por exemplo, , o que nos dá:
No entanto, isso nos dá , ou seja, o mesmo ponto. Para formar um triângulo, deve ser um ponto diferente de . Vamos escolher outro valor para , por exemplo, :

Passo 4

Com os pontos Área = 12 | AB times AC | , AB = B - A = (2 - 1, 2 - 2, 4 - 5) = (1, 0, -1) e AC = C - A = ( x - 1, 7 - x2 - 2, 3 - 5 ) = ( x - 1, 3 - x2, -2 ) definidos, podemos calcular a área do triângulo AB times AC = i & j & k 1 & 0 & -1 x - 1 & 3 - x2 & -2 = i (0 cdot (-2) - (-1) cdot 3 - x2) - j (1 cdot (-2) - (-1) cdot (x - 1)) + k (1 cdot 3 - x2 - 0 cdot (x - 1)) usando a fórmula da área de um triângulo no espaço, que envolve o produto vetorial dos vetores AB times AC = i (3 - x2) - j (-2 + x - 1) + k (3 - x2) e = ( 3 - x2, - (x - 3), 3 - x2 ) :
| AB times AC | = raiz ( 3 - x2 )^2 + (x - 3)^2 + ( 3 - x2 )^2 Á
Primeiro, calculamos os vetores = raiz (3 - x)^24 + (x - 3)^2 + (3 - x)^24 e = raiz (3 - x)^24 + 4(x - 3)^24 + (3 - x)^24 :
= raiz (3 - x)^2 + 4(x - 3)^2 + (3 - x)^24
= raiz 6(x - 3)^24 = raiz 3(x - 3)^22 = raiz6 , |x - 3|2
Agora, calculamos o produto vetorial 12 cdot raiz6 , |x - 3|2 = raiz6 :
raiz6 , |x - 3|4 = raiz6
Simplificando:
raiz6 , |x - 3| = 4raiz6
|x - 3| = 4
Calculamos a norma desse vetor:
x - 3 = 4 implies x = 7
x - 3 = -4 implies x = -1
A área do triângulo deve ser igual a :
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os pontos C1 = (7, 7 - 72, 3) = (7, 0, 3) na reta C2 = (-1, 7 - (-1)2, 3) = (-1, 4, 3) que satisfazem a condição são:
Portanto, os pontos são e .

Exercícios relacionados