Sejam uma reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor , uma reta dada por
© Encontre um ponto na reta s tal que o triângulo tenha área igual a

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  • A reta que passa pelo ponto e tem como vetor diretor .
  • A reta definida pelas equações:
O objetivo é encontrar um ponto na reta de forma que o triângulo tenha área igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas no espaço, vetores e cálculo de área de triângulos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta para facilitar a identificação dos pontos sobre ela. Sabemos que para qualquer ponto na reta . Além disso, a equação relaciona e .
Podemos expressar em função de :
Então, podemos definir o vetor posição de um ponto qualquer na reta como:
Aqui, é um parâmetro que pode variar para obter diferentes pontos na reta .

Passo 3

Agora, precisamos determinar as coordenadas do ponto na reta . Como a reta passa pelo ponto e tem vetor diretor , a equação paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro. Como precisamos apenas de um ponto na reta , podemos escolher um valor para , por exemplo, , o que nos dá:
No entanto, isso nos dá , ou seja, o mesmo ponto. Para formar um triângulo, deve ser um ponto diferente de . Vamos escolher outro valor para , por exemplo, :

Passo 4

Com os pontos , e definidos, podemos calcular a área do triângulo usando a fórmula da área de um triângulo no espaço, que envolve o produto vetorial dos vetores e :
Á
Primeiro, calculamos os vetores e :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
Calculamos a norma desse vetor:
A área do triângulo deve ser igual a :
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os pontos na reta que satisfazem a condição são:
Portanto, os pontos são e .

Exercícios relacionados

Considere as retas e .
(e) Diga a posição relativa entre e (justificando),
Encontre o vetor unitário perpendicular ao plano determinado por
Considere o seguinte sistema linear nas variáveis e .
(a) Encontre todos os valores de para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Para o caso em que o sistema possui infinitas soluções, encontre a solução geral do sistema.
Determine a solução geral do sistema linear