S=(lla & b c & d) c=a+b el d=a
a) Qual a dimensão de S ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a dimensão do conjunto S = a & b c & d | c = a + b e d = a que consiste em matrizes da forma:
Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos ver quantos parâmetros livres temos nas matrizes de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as condições dadas:
Essas equações relacionam os elementos da matriz, o que vai nos ajudar a expressar algumas variáveis em termos de outras.

Passo 3

Vamos expressar todas as entradas da matriz em termos dos parâmetros livres. Normalmente, escolhemos as variáveis que não estão condicionadas pelas equações. Aqui, a & b a + b & a e não estão definidos por nenhuma equação, então vamos considerá-los como nossos parâmetros livres.
Então, temos:
  • (já dada)
  • (já dada)
Assim, qualquer matriz em pode ser escrita como:

Passo 4

Agora, observamos que as matrizes em são determinadas pelos valores livres de e . Cada escolha de e define uma única matriz em , e não há mais restrições.
Portanto, temos dois parâmetros livres: e .

Resposta

A dimensão de é .

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