Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . A pergunta é para encontrarmos o produto vetorial de com , ou seja, . O produto vetorial é uma operação que resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores iniciais e utiliza conceitos de álgebra vetorial.
Passo 2
Para calcular o produto vetorial , vamos usar a seguinte fórmula:
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente, e u1, u2, u3 são as componentes de u, enquanto w1, w2, w3 são as componentes de w.
Passo 3
Vamos substituir os componentes dos vetores na matriz:
u times w = i & j & k 2 & 1 & 3 1 & 1 & 5
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que o determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão em cofatores. Vamos usar a expansão em cofatores aqui:
u times w = i cdot 1 & 3 1 & 5 - j cdot 2 & 3 1 & 5 + k cdot 2 & 1 1 & 1
Passo 5
Vamos calcular cada um dos determinantes 2x2:
Para i:
1 & 3 1 & 5 = (1 times 5) - (3 times 1) = 5 - 3 = 2
Para j:
2 & 3 1 & 5 = (2 times 5) - (3 times 1) = 10 - 3 = 7
Para k:
2 & 1 1 & 1 = (2 times 1) - (1 times 1) = 2 - 1 = 1
Passo 6
Substituindo os valores encontrados nas expressões:
u times w = i cdot 2 - j cdot 7 + k cdot 1 = (2, -7, 1)
Resposta
O produto vetorial u times w é o vetor (2, -7, 1).