Sejam u=(2,1,3), v=(4,-2,2) e w=(1,1,5). Encontre u times w

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: u = (2, 1, 3), v = (4, -2, 2) e w = (1, 1, 5). A pergunta é para encontrarmos o produto vetorial de u com w, ou seja, u times w. O produto vetorial é uma operação que resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores iniciais e utiliza conceitos de álgebra vetorial.

Passo 2

Para calcular o produto vetorial u times w, vamos usar a seguinte fórmula:
u times w = i & j & k u1 & u2 & u3 w1 & w2 & w3
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente, e u1, u2, u3 são as componentes de u, enquanto w1, w2, w3 são as componentes de w.

Passo 3

Vamos substituir os componentes dos vetores na matriz:
u times w = i & j & k 2 & 1 & 3 1 & 1 & 5

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que o determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão em cofatores. Vamos usar a expansão em cofatores aqui:
u times w = i cdot 1 & 3 1 & 5 - j cdot 2 & 3 1 & 5 + k cdot 2 & 1 1 & 1

Passo 5

Vamos calcular cada um dos determinantes 2x2:
  • Para i:
1 & 3 1 & 5 = (1 times 5) - (3 times 1) = 5 - 3 = 2
  • Para j:
2 & 3 1 & 5 = (2 times 5) - (3 times 1) = 10 - 3 = 7
  • Para k:
2 & 1 1 & 1 = (2 times 1) - (1 times 1) = 2 - 1 = 1

Passo 6

Substituindo os valores encontrados nas expressões:
u times w = i cdot 2 - j cdot 7 + k cdot 1 = (2, -7, 1)

Resposta

O produto vetorial u times w é o vetor (2, -7, 1).

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